Dimensionar a coluna ou pilar com os seguintes materiais, sendo \mathrm{P}=300 \mathrm{kN} :
Madeira: \sigma_{\mathrm{adm}}=5 \mathrm{MPa}
Alvenaria: \sigma_{\mathrm{adm}}=800 \mathrm{kPa}
Aço: \sigma adm =140 \mathrm{MPa}
Concreto: \sigma adm =8 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos (encontremos a dimensão da seção transversal quadrada) de uma coluna/pilar que recebe uma carga axial \mathrm{P}=300\\ \mathrm{kN}, usando para cada material o valor da tensão admissível dado. Informações fornecidas:
\mathrm{P}=300\\ \mathrm{kN}
Tensões admissíveis fornecidas:
\begin{aligned} \text{Madeira:}\quad &\sigma_{\mathrm{adm}}=5\\ \mathrm{MPa}\\[2pt] \text{Alvenaria:}\quad &\sigma_{\mathrm{adm}}=800\\ \mathrm{kPa}\\[2pt] \text{Aço:}\quad &\sigma_{\mathrm{adm}}=140\\ \mathrm{MPa}\\[2pt] \text{Concreto:}\quad &\sigma_{\mathrm{adm}}=8\\ \mathrm{MPa} \end{aligned}ç
A seção transversal é quadrada de lado a. Devemos determinar a para cada material (ou seja, achar a dimensão da face da seção que resista a \mathrm{P} sem ultrapassar \sigma_{\mathrm{adm}}).]

Passo 2

Conceito e fórmula básica: a tensão normal média em uma seção devido a uma força axial concentrada é dada por
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (em \mathrm{N/mm}^2 se usarmos essas unidades), P é a força axial (em \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (em \mathrm{mm}^2). Nesta verificação usamos a tensão admissível \sigma_{\mathrm{adm}} e exigimos \sigma\le\\ \sigma_{\mathrm{adm}}. Para projeto toma-se igualidade para achar a área mínima:
A_{\min}=\frac{P}{\sigma_{\mathrm{adm}}}.
Explicando as variáveis: \,P é a carga vertical que comprime a coluna; \sigma_{\mathrm{adm}} é a tensão máxima permitida pelo material; A é a área que precisamos dimensionar.

Passo 3

Unidades — muito importante para não errar: convertendo tudo para \mathrm{N} e \mathrm{N/mm}^2 (onde 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2 e 1\\ \mathrm{kPa}=0{,}001\\ \mathrm{MPa}):
\mathrm{P}=300\\ \mathrm{kN}=300\,000\\ \mathrm{N}.
Converter as tensões:
\begin{aligned} 5\\ \mathrm{MPa}&=5\\ \mathrm{N/mm}^2,\\[2pt] 800\\ \mathrm{kPa}&=0{,}8\\ \mathrm{MPa}=0{,}8\\ \mathrm{N/mm}^2,\\[2pt] 140\\ \mathrm{MPa}&=140\\ \mathrm{N/mm}^2,\\[2pt] 8\\ \mathrm{MPa}&=8\\ \mathrm{N/mm}^2. \end{aligned}]

Passo 4

Área mínima e lado da seção quadrada: primeiro calculamos
A_{\min}=\frac{P}{\sigma_{\mathrm{adm}}}\quad\text{(em \(\mathrm{mm}^2\) se \(P\) em N e \(\sigma\) em N/mm\(^2\)).}
Como a seção é quadrada, A=a^2. Logo o lado mínimo é
a=\sqrt{A_{\min}}.
Vamos aplicar isto material a material, mostrando todos os passos numéricos.

Passo 5

Calcular a área mínima:
A=\frac{300\,000}{5}=60\,000\\ \mathrm{mm}^2.
Calcular o lado:
a=\sqrt{60\,000}\approx 244{,}95\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros:
a\approx 24{,}495\\ \mathrm{cm}\approx 24{,}50\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a área mínima:
A=\frac{300\,000}{0{,}8}=375\,000\\ \mathrm{mm}^2.
Calcular o lado:
a=\sqrt{375\,000}\approx 612{,}37\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros:
a\approx 61{,}237\\ \mathrm{cm}\approx 61{,}24\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Calcular a área mínima:
A=\frac{300\,000}{140}\approx 2\,142{,}857\\ \mathrm{mm}^2.
Calcular o lado:
a=\sqrt{2\,142{,}857}\approx 46{,}31\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros:
a\approx 4{,}631\\ \mathrm{cm}\approx 4{,}63\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Calcular a área mínima:
A=\frac{300\,000}{8}=37\,500\\ \mathrm{mm}^2.
Calcular o lado:
a=\sqrt{37\,500}\approx 193{,}65\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros:
a\approx 19{,}365\\ \mathrm{cm}\approx 19{,}36\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Comentário curto de uso prático: os valores acima são os lados mínimos teóricos para uma seção quadrada perfeitamente carregada axialmente, usando as tensões admissíveis fornecidas. Em projeto real convém adotar dimensões comerciais superiores, considerar flambagem (para pilares esbeltos), fatores de segurança adicionais, detalhes de apoio e concentradores de carga, e verificar se a seção quadrada é prática para o material escolhido.

Resposta

Madeira: a\approx 244{,}95\\ \mathrm{mm} (≈ 24{,}50\\ \mathrm{cm}).
Alvenaria: a\approx 612{,}37\\ \mathrm{mm} (≈ 61{,}24\\ \mathrm{cm}).
Aço: a\approx 46{,}31\\ \mathrm{mm} (≈ 4{,}63\\ \mathrm{cm}).
Concreto: a\approx 193{,}65\\ \mathrm{mm} (≈ 19{,}36\\ \mathrm{cm}).

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