Dimensione chaves de partida a autotransformador, com TAP 80 \%, sem fator de serviço para cada caso:
a) Motor de 20 \mathrm{cv}, 380 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}\(; comando em\)220 \mathrm{~V} ; T_{P}=2 s ; I_{n}(380 \mathrm{~V})=32,35 A ; I_{P} / I_{n}=7,5.
b) Motor de 7,5 \mathrm{cv} ; I_{p} / I_{n}=7,3 ; I_{n}(220 \mathrm{~V})=20,6 \mathrm{~A}; alimentação em 220 V ;
c) Motor de 7,5 \mathrm{cv} ; I_{P} / I_{n}=7,3 ; I_{n}(380 \mathrm{~V})=11,9 \mathrm{~A}; alimentação em 380 V ;
d) Motor de 5 cv a 220 \mathrm{~V} ; I_{P} / I_{n}=8,2 ; I_{n}(220 \mathrm{~V})=13,8 \mathrm{~A};
e) Motor de 100 \mathrm{cv} ; 380 \mathrm{~V}\(; comando em\)220 \mathrm{~V} ; T_{P}=10 s ; I_{n}(380 \mathrm{~V})=134,44 \mathrm{~A} ; I_{P} / I_{n}=8,2.
f) Motor de 30 \mathrm{cv} ; 220 \mathrm{~V} ; 60 \mathrm{~Hz}\(; comando em\)220 \mathrm{~V} ; T_{p}=15 \mathrm{~s}, I_{n}(220 \mathrm{~V})=77,1 \mathrm{~A}, I_{p} / I_{n}=8.
g) Motor de 15 \mathrm{cv}, 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz} ; T_{P}=5 s ; I_{n}(220 \mathrm{~V})=39,3 \mathrm{~A}\(e\)I_{P} / I_{n}=8.
h) Motor de 40 \mathrm{cv}, 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz} ; T_{P}=15 s ; I_{n}(220 \mathrm{~V})=101 A ; I_{P} / I_{n}=6,6.

Passo 1

O enunciado pede que eu dimensione chaves de partida do tipo autotransformador com TAP de 80\% (ou seja a=0{,}8), sem fator de serviço, para oito motores diferentes. Para cada caso o enunciado forneceu alguns dados (tensão de alimentação, corrente nominal I_n, razão de corrente de partida I_p/I_n, tempo de partida T_P em alguns casos). Vou listar os dados relevantes que vou usar (um por caso), exatamente como foram dados:
a) Motor de 20\\ \mathrm{cv}; tensão 380\\ \mathrm{V}; I_n(380\\ \mathrm{V}) = 32{,}35\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 7{,}5.
b) Motor de 7{,}5\\ \mathrm{cv}; tensão 220\\ \mathrm{V}; I_n(220\\ \mathrm{V}) = 20{,}6\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 7{,}3.
c) Motor de 7{,}5\\ \mathrm{cv}; tensão 380\\ \mathrm{V}; I_n(380\\ \mathrm{V}) = 11{,}9\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 7{,}3.
d) Motor de 5\\ \mathrm{cv}; tensão 220\\ \mathrm{V}; I_n(220\\ \mathrm{V}) = 13{,}8\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 8{,}2.
e) Motor de 100\\ \mathrm{cv}; tensão 380\\ \mathrm{V}; I_n(380\\ \mathrm{V}) = 134{,}44\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 8{,}2.
f) Motor de 30\\ \mathrm{cv}; tensão 220\\ \mathrm{V}; I_n(220\\ \mathrm{V}) = 77{,}1\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 8.
g) Motor de 15\\ \mathrm{cv}; tensão 220\\ \mathrm{V}; I_n(220\\ \mathrm{V}) = 39{,}3\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 8.
h) Motor de 40\\ \mathrm{cv}; tensão 220\\ \mathrm{V}; I_n(220\\ \mathrm{V}) = 101\\ \mathrm{A}; I_p/I_n = 6{,}6.
O que vou determinar para cada caso (por “dimensionar chaves de partida a autotransformador” entendo que se espera):
  • a corrente de partida do motor I_p;
  • a corrente de linha durante a partida (corrente que passa pela alimentação) I_s (essa importa para dimensionar o contato de linha);
  • a potência aparente do autotransformador durante a partida S_{AT} (em kVA);
  • recomendações simples de corrente para os contactores: contato de autotransformador (chave que alimenta o secundário/tap) precisa suportar I_p; contato de linha precisa suportar \max(I_s,I_n); contato de bypass (quando houver) precisa suportar I_n.

Passo 2

Vou explicar a teoria e as fórmulas que eu vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  1. Primeiro encontro a corrente de partida do motor I_p. Se o enunciado me dá a razão I_p/I_n, então:
I_p = I_n \times \frac{I_p}{I_n}.
Aqui I_n é a corrente nominal do motor (corrente em regime permanente a tensão nominal) e \dfrac{I_p}{I_n} é a razão de pico/arranque fornecida.
  1. No autotransformador com tap que fornece uma fração a da tensão (aqui a=0{,}8), durante a partida o motor está sujeito à tensão reduzida V_2 = a\cdot V_1. A potência aparente que sai da linha é aproximadamente S_1 = V_1\cdot I_s e a potência aparente no motor é S_2 = V_2\cdot I_p. Em regime estacionário de potência aparente (ignorando pequenas correntes magnetizantes), temos V_1 I_s \approx V_2 I_p, logo:
I_s \approx a \cdot I_p.
Isto significa que a corrente que a alimentação precisa fornecer durante a partida é menor que a corrente do motor quando a<1.
  1. A potência (ou kVA) que o autotransformador precisa “manusear” durante a partida corresponde à potência aparente transferida pela parte série do enrolamento, que é a diferença entre a potência do motor e a potência fornecida diretamente pela linha. A forma simples e prática muito usada é:
S_{AT} = V_1\cdot I_p \cdot (1-a).
Aqui V_1 é a tensão de alimentação (por exemplo 220\\ \mathrm{V} ou 380\\ \mathrm{V}), I_p é a corrente de partida do motor e 1-a é a fração de tensão que o autotransformador efetivamente tem que “suportar” em termos de potência aparente. Observe que S_{AT} tem unidades de VA; normalmente eu apresento em kVA dividindo por 1000.
  1. Para dimensionamento de chaves (contactores):
  • A chave que conecta o secundário/tap do autotransformador ao motor (chave do autotransformador, geralmente chamada K_2) deve suportar a corrente de partida I_p (pois nela circula praticamente I_p).
  • A chave de linha (geralmente K_1) deve suportar a maior corrente que aparece na linha: durante a partida ela vê I_s e em regime normal vê I_n; portanto escolhe-se I_{K1} = \max(I_s,I_n).
  • A chave de bypass (quando entra em run a plena tensão) deve suportar a corrente nominal I_n.
Não vou aplicar “fator de serviço” adicional porque enunciado pediu “sem fator de serviço”.

Passo 3

Dados do caso (lembre: estou pegando I_n do enunciado):
I_n = 32{,}35\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=7{,}5,\quad V_1=380\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo de I_p:
I_p = 32{,}35 \times 7{,}5 = 242{,}625\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha durante partida:
I_s = a\cdot I_p = 0{,}8 \times 242{,}625 = 194{,}100\\ \mathrm{A}.
Potência aparente do autotransformador:
S_{AT} = V_1 \cdot I_p \cdot (1-a) = 380 \times 242{,}625 \times 0{,}2 = 18.439{,}5\\ \mathrm{VA} = 18{,}439{,}5\\ \mathrm{VA}.
Em kVA:
S_{AT} = 18{,}439{,}5\\ \mathrm{VA} \approx 18{,}44\\ \mathrm{kVA}.
Recomendações de corrente para chaves: K_2 (autotransf.) \approx I_p=242{,}63\\ \mathrm{A}; K_1 (linha) \approx \max(I_s,I_n)=194{,}10\\ \mathrm{A}; K_3 (bypass) \approx I_n=32{,}35\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Dados:
I_n = 20{,}6\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=7{,}3,\quad V_1=220\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 20{,}6 \times 7{,}3 = 150{,}38\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 150{,}38 = 120{,}304\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 220 \times 150{,}38 \times 0{,}2 = 6.616{,}72\\ \mathrm{VA} \approx 6{,}617\\ \mathrm{VA} = 6{,}617\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 6{,}62\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 150{,}38\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(120{,}30,\;20{,}6)=120{,}30\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 20{,}6\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Dados:
I_n = 11{,}9\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=7{,}3,\quad V_1=380\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 11{,}9 \times 7{,}3 = 86{,}87\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 86{,}87 = 69{,}496\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 380 \times 86{,}87 \times 0{,}2 = 6.600{,}12\\ \mathrm{VA} \approx 6{,}600{,}12\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 6{,}60\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 86{,}87\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(69{,}50,\;11{,}9)=69{,}50\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 11{,}9\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Dados:
I_n = 13{,}8\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=8{,}2,\quad V_1=220\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 13{,}8 \times 8{,}2 = 113{,}16\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 113{,}16 = 90{,}528\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 220 \times 113{,}16 \times 0{,}2 = 4.979{,}04\\ \mathrm{VA} \approx 4{,}979{,}04\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 4{,}98\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 113{,}16\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(90{,}53,\;13{,}8)=90{,}53\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 13{,}8\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Dados:
I_n = 134{,}44\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=8{,}2,\quad V_1=380\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 134{,}44 \times 8{,}2 = 1.102{,}408\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 1.102{,}408 = 881{,}9264\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 380 \times 1.102{,}408 \times 0{,}2 = 83.783{,}008\\ \mathrm{VA} \approx 83.783{,}01\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 83{,}78\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 1.102{,}41\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(881{,}93,\;134{,}44)=881{,}93\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 134{,}44\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Dados:
I_n = 77{,}1\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=8,\quad V_1=220\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 77{,}1 \times 8 = 616{,}8\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 616{,}8 = 493{,}44\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 220 \times 616{,}8 \times 0{,}2 = 27.139{,}2\\ \mathrm{VA} \approx 27.139{,}2\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 27{,}14\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 616{,}8\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(493{,}44,\;77{,}1)=493{,}44\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 77{,}1\\ \mathrm{A}.

Passo 9

Dados:
I_n = 39{,}3\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=8,\quad V_1=220\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 39{,}3 \times 8 = 314{,}4\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 314{,}4 = 251{,}52\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 220 \times 314{,}4 \times 0{,}2 = 13.833{,}6\\ \mathrm{VA} \approx 13.833{,}6\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 13{,}83\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 314{,}4\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(251{,}52,\;39{,}3)=251{,}52\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 39{,}3\\ \mathrm{A}.

Passo 10

Dados:
I_n = 101\\ \mathrm{A},\quad \frac{I_p}{I_n}=6{,}6,\quad V_1=220\\ \mathrm{V},\quad a=0{,}8.
Calculo I_p:
I_p = 101 \times 6{,}6 = 666{,}6\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha:
I_s = 0{,}8 \times 666{,}6 = 533{,}28\\ \mathrm{A}.
Potência do autotransformador:
S_{AT} = 220 \times 666{,}6 \times 0{,}2 = 29.330{,}4\\ \mathrm{VA} \approx 29.330{,}4\\ \mathrm{VA}.
Em kVA: S_{AT}\approx 29{,}33\\ \mathrm{kVA}.
Chaves: K_2 \approx 666{,}6\\ \mathrm{A}; K_1 \approx \max(533{,}28,\;101)=533{,}28\\ \mathrm{A}; K_3 \approx 101\\ \mathrm{A}.

Resposta

a) I_p=242{,}625\\ \mathrm{A};\\ I_s=194{,}100\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=18{,}439{,}5\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 18{,}44\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx242{,}63\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx194{,}10\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx32{,}35\\ \mathrm{A}.\n b) \(I_p=150{,}38\\ \mathrm{A};\\ I_s=120{,}304\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=6.616{,}72\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 6{,}62\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx150{,}38\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx120{,}30\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx20{,}6\\ \mathrm{A}.\n c) \(I_p=86{,}87\\ \mathrm{A};\\ I_s=69{,}496\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=6.600{,}12\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 6{,}60\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx86{,}87\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx69{,}50\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx11{,}9\\ \mathrm{A}.\n d) \(I_p=113{,}16\\ \mathrm{A};\\ I_s=90{,}528\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=4.979{,}04\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 4{,}98\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx113{,}16\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx90{,}53\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx13{,}8\\ \mathrm{A}.\n e) \(I_p=1.102{,}408\\ \mathrm{A};\\ I_s=881{,}9264\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=83.783{,}01\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 83{,}78\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx1.102{,}41\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx881{,}93\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx134{,}44\\ \mathrm{A}.\n f) \(I_p=616{,}8\\ \mathrm{A};\\ I_s=493{,}44\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=27.139{,}2\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 27{,}14\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx616{,}8\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx493{,}44\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx77{,}1\\ \mathrm{A}.\n g) \(I_p=314{,}4\\ \mathrm{A};\\ I_s=251{,}52\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=13.833{,}6\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 13{,}83\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx314{,}4\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx251{,}52\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx39{,}3\\ \mathrm{A}.\n h) \(I_p=666{,}6\\ \mathrm{A};\\ I_s=533{,}28\\ \mathrm{A};\\ S_{AT}=29.330{,}4\\ \mathrm{VA}\\ (\approx 29{,}33\\ \mathrm{kVA});\\ K_2\approx666{,}6\\ \mathrm{A};\\ K_1\approx533{,}28\\ \mathrm{A};\\ K_3\approx101\\ \mathrm{A}.)

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