As dimensões do eixo de iconel (
) são 25 mm de diâmetro por 38 mm ; 18 mm de diâmetro por
de diâmetro por 40 mm e 10 mm de diâmetro por
Sua velocidade de rotação é 2725 rpm . Os apoios do eixo estão em 0 e 120 mm de um eixo de 250 mm de comprimento. A engrenagem de aço pesa 4 kg e atua em
. A massa da engrenagem tem um momento de inércia de
. A polia de alumínio pesa
e atua em
, ela tem um momento de inércia de massa de
. A deflexão na engrenagem é
e na polia é
.
A deflexão estática do eixo devido ao peso da engrenagem e polia será usada como uma estimativa para o método de Rayleigh, mas o peso da engrenagem e da polia será aplicado na direção que der a maior deflexão estática.
Conforme dados acima, encontrar as freqüências torcionais críticas e de rodopio de eixo. Comparar a freqüência atuantes e verificar se o eixo entrará ou não em ressonância e porque.
Fórmulas:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar (1) a frequência de rodopio (whirl) do eixo usando o método de Rayleigh fornecido e (2) a(s) frequência(s) torcional(is) crítica(s) do conjunto (engrenagem + polia + eixo). Em seguida comparar com a velocidade de rotação atuante e dizer se haverá ressonância e por quê.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
Observações importantes que vou usar (assunções explícitas): os momentos de inércia dados são assumidos em
. As deflexões dadas estão em milímetros no formato informado (por exemplo
). A engrenagem está em
(dentro do trecho com
) e a polia em
(dentro do trecho com
); usarei essa distribuição para calcular as rigidezes torcionais entre elas.
Passo 2
Preparar pesos e converter unidades para o método de Rayleigh (rodopio). Primeiro calcular os pesos (força peso) das massas:
Vou também converter as deflexões de
para
(unidades SI coerentes):
Passo 3
Aplicar a fórmula do método de Rayleigh para rodopio:
Calcular numerador e denominador separadamente:
Agora a razão e a raiz:
Converter para frequência em hertz e rpm:
Breve explicação didática do que eu fiz aqui: o método de Rayleigh estima a frequência natural de flambagem/rodopio usando a razão entre energia potencial estimada (aqui associada a pesos vezes deflexões) e energia com quadrado das deflexões; a fórmula dada resume isso para massas discretas conhecidas e deflexões estáticas conhecidas. Não precisei obter a forma modal completa porque me deram as deflexões estáticas nos pontos de massa.
Passo 4
Preparar o cálculo das rigidezes torsionais do eixo entre as duas massas (engrenagem e polia). Explico a fórmula e a estratégia passo a passo:
- Para uma seção cilíndrica do eixo de diâmetro
e comprimento , a constante torsional é
onde
é o módulo de cisalhamento e
é o momento polar de inércia da seção para torção, dado por
- Quando vários trechos de eixo ligados em série estão entre as duas massas, as rigidezes se somam como resistências em série na elasticidade torsional:
- Vou determinar quais trechos ficam entre
e . Com base nas comprimentos fornecidos por trecho (assumo a sequência indicada no enunciado), os trechos estão posicionados assim (contagem a partir da borda esquerda):
Dessa disposição, a engrenagem em
está dentro do trecho com
e a polia em
está dentro do trecho com
. Portanto o caminho entre as duas massas inclui:
- do ponto
até : trecho com de comprimento ; - do ponto
até : trecho com de comprimento .
Vou calcular as rigidezes desses dois trechos (em série) e obter
.
Passo 5
Cálculo do primeiro trecho (diâmetro
, comprimento
):
Converter para metros:
,
.
Calcular
:
Faço a conta passo a passo:
Agora
:
Passo 6
Cálculo do segundo trecho (diâmetro
, comprimento
):
Converter:
,
.
Calcular
:
Agora
:
Passo 7
Obter
para os dois trechos em série:
Substituindo os valores:
( Cálculo numérico mostrado nos passos anteriores; arredondei ao número significativo compatível.)
Passo 8
Calcular a frequência torcional natural do sistema de duas massas acopladas por uma rigidez torsional equivalente. Fórmula fornecida:
Substituir
,
,
:
Primeiro a razão com momentos:
Agora o produto:
Logo
Converter para frequência em hertz e rpm:
Explicação didática curta sobre o que esse resultado significa: esse
é a freqüência natural de torção do conjunto eng+polia conectados pelo eixo (modo básico em que as duas massas oscilam em torção com relação entre si). Se a excitação torcional (por exemplo, torques periódicos, engrenamento com harmônicos, ou excitação na mesma frequência que a rotação) coincidir com essa frequência, pode haver ressonância torsional.
Passo 9
Calcular a velocidade angular de excitação (força/forçada) decorrente da rotação:
Em frequência:
Comparações diretas (valores obtidos):
Passo 10
Conclusão sobre ressonância (explicada de forma clara e prática):
- Para ressonância torsional: a frequência de excitação básica é a frequência de rotação
. A frequência torsional natural calculada é . Essas duas estão muito separadas (a rotação está ~14 vezes maior que a frequência natural torsional). Portanto não haverá ressonância torsional na condição de operação considerada (a menos que exista um excitador harmônico muito forte cuja frequência coincida com , o que é improvável com rotação a 2725 rpm; harmonicos inteiros da rotação são múltiplos de 45,42 Hz, não de 3,21 Hz). - Para ressonância de rodopio (whirl): a frequência natural de rodopio corresponde a
(ou ). A velocidade de operação é bem menor que essa frequência crítica. Portanto o eixo não entrará em ressonância de rodopio na rotação de .
Motivação final simples: ressonância ocorre quando a frequência de excitação coincide (ou quase coincide) com uma frequência natural do sistema. Aqui nenhuma das frequências naturais calculadas coincide com a frequência de excitação (nem torsional, nem de rodopio), então o eixo não ressoa nas condições dadas.
Passo 11
Observações finais e incentivo (curtas):
- As aproximações principais que fiz: usei as deflexões estáticas dadas diretamente (como pediu o enunciado) e assumi as posições dos trechos do eixo conforme a soma dos comprimentos informados. Também tomei os momentos de inércia fornecidos como
. Se algum desses pontos estivesse diferente, os números mudariam, mas o procedimento seria o mesmo. - Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a maneira que permite entender cada escolha. Se quiser, eu refaço as contas assumindo que as deflexões estavam em metros (não em mm) ou mudando a distribuição dos trechos do eixo — a metodologia é idêntica.
Resposta
Frequência de rodopio (whirl):
Frequência torcional natural:
Frequência de excitação pela rotação:
Conclusão sobre ressonância: Não; a rotação de não coincide nem com a frequência torcional natural (
) nem com a de rodopio (
), portanto o eixo não entrará em ressonância nas condições dadas.
Frequência torcional natural:
Frequência de excitação pela rotação:
Conclusão sobre ressonância: Não; a rotação de