As dimensões do eixo de iconel ( \mathrm{G}=75,8 \mathrm{GPa} ) são 25 mm de diâmetro por 38 mm ; 18 mm de diâmetro por 90 \mathrm{~mm} ; 15 \mathrm{~mm} de diâmetro por 40 mm e 10 mm de diâmetro por 35 \mathrm{~mm} .(6,0)
Sua velocidade de rotação é 2725 rpm . Os apoios do eixo estão em 0 e 120 mm de um eixo de 250 mm de comprimento. A engrenagem de aço pesa 4 kg e atua em \mathrm{z}=50 \mathrm{~mm}. A massa da engrenagem tem um momento de inércia de 70 \mathrm{~kg}-\mathrm{m}. A polia de alumínio pesa 1,2 \mathrm{~kg} e atua em \mathrm{z}=150 \mathrm{~mm}, ela tem um momento de inércia de massa de 20 \mathrm{~kg}-\mathrm{m}. A deflexão na engrenagem é 1,5 \mathrm{E}-3 \mathrm{~mm} e na polia é 3,25 \mathrm{E}-3 \mathrm{~mm}.
A deflexão estática do eixo devido ao peso da engrenagem e polia será usada como uma estimativa para o método de Rayleigh, mas o peso da engrenagem e da polia será aplicado na direção que der a maior deflexão estática.
Conforme dados acima, encontrar as freqüências torcionais críticas e de rodopio de eixo. Comparar a freqüência atuantes e verificar se o eixo entrará ou não em ressonância e porque.

Fórmulas:

\omega_{\text {rodopio }}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} w_{i} \delta_{i}}{\sum_{i=1}^{n} w_{i} \delta_{i}^{2}}} ; \quad w=m . g ; \quad \omega_{\text {forcada }}=r p m \frac{2 \pi}{60} ; \quad \omega_{\text {torcional }}=\sqrt{k_{\text {ef }} \frac{I_{1}+I_{2}}{I_{1} \cdot I_{2}}}
k_{t}=\frac{G J}{l} ; \quad J=\frac{\pi d^{4}}{32 l} ; \quad I=\frac{\pi d^{4}}{64} ; \quad \frac{1}{k_{e f}}=\frac{1}{k_{t 1}}+\frac{1}{k_{t 2}} \ldots+\frac{1}{k_{t u}}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar (1) a frequência de rodopio (whirl) do eixo usando o método de Rayleigh fornecido e (2) a(s) frequência(s) torcional(is) crítica(s) do conjunto (engrenagem + polia + eixo). Em seguida comparar com a velocidade de rotação atuante e dizer se haverá ressonância e por quê.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
\begin{aligned} &\text{Módulo de cisalhamento: } G=75{,}8\\ \text{GPa}=75{,}8\times10^{9}\\ \text{Pa},\\\ &\text{Geometrias do eixo (diâmetro por comprimento): }\\\ &\quad d_1=25\\ \text{mm},\\ l_1=38\\ \text{mm};\quad d_2=18\\ \text{mm},\\ l_2=90\\ \text{mm};\\\ &\quad d_3=15\\ \text{mm},\\ l_3=40\\ \text{mm};\quad d_4=10\\ \text{mm},\\ l_4=35\\ \text{mm};\\\ &\text{Comprimento total do eixo informado: }250\\ \text{mm (dados de apoio em }0\text{ e }120\\ \text{mm)},\\\ &\text{Posições das massas ao longo do eixo: }z_{\text{eng}}=50\\ \text{mm},\\ z_{\text{pol}}=150\\ \text{mm},\\\ &\text{Massa da engrenagem: }m_{\text{eng}}=4{,}0\\ \text{kg},\\ \text{momento de inércia }I_{\text{eng}}=70\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2,\\\ &\text{Massa da polia: }m_{\text{pol}}=1{,}2\\ \text{kg},\\ \text{momento de inércia }I_{\text{pol}}=20\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2,\\\ &\text{Deflexões estáticas (dadas) na direção que produz maior deflexão:}\\\ &\quad \delta_{\text{eng}}=1{,}5\times10^{-3}\\ \text{mm},\quad \delta_{\text{pol}}=3{,}25\times10^{-3}\\ \text{mm},\\\ &\text{Velocidade de rotação: }n=2725\\ \text{rpm}.\\\ \end{aligned}óâçõééõáçããçã
Observações importantes que vou usar (assunções explícitas): os momentos de inércia dados são assumidos em \text{kg}\cdot\text{m}^2. As deflexões dadas estão em milímetros no formato informado (por exemplo \delta_{\text{eng}}=1{,}5\text{E}-3\\ \text{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \text{mm}). A engrenagem está em z=50\\ \text{mm} (dentro do trecho com d=18\\ \text{mm}) e a polia em z=150\\ \text{mm} (dentro do trecho com d=15\\ \text{mm}); usarei essa distribuição para calcular as rigidezes torcionais entre elas.

Passo 2

Preparar pesos e converter unidades para o método de Rayleigh (rodopio). Primeiro calcular os pesos (força peso) das massas:
w_{\text{eng}}=m_{\text{eng}}g=4{,}0\cdot 9{,}81=39{,}24\\ \text{N},
w_{\text{pol}}=m_{\text{pol}}g=1{,}2\cdot 9{,}81=11{,}772\\ \text{N}.
Vou também converter as deflexões de \text{mm} para \text{m} (unidades SI coerentes):
\delta_{\text{eng}}=1{,}5\times10^{-3}\\ \text{mm}=1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m},
\delta_{\text{pol}}=3{,}25\times10^{-3}\\ \text{mm}=3{,}25\times10^{-6}\\ \text{m}.

Passo 3

Aplicar a fórmula do método de Rayleigh para rodopio:
\omega_{\text{rodopio}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\sum_{i} w_i\,\delta_i}{\sum_{i} w_i\,\delta_i^{2}}} =\sqrt{\frac{w_{\text{eng}}\delta_{\text{eng}}+w_{\text{pol}}\delta_{\text{pol}}}{w_{\text{eng}}\delta_{\text{eng}}^{2}+w_{\text{pol}}\delta_{\text{pol}}^{2}}}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
\begin{aligned} \text{Num} &=39{,}24\cdot 1{,}5\times10^{-6}+11{,}772\cdot 3{,}25\times10^{-6}\\\ &=5{,}886\times10^{-5}+3{,}8259\times10^{-5}=9{,}7119\times10^{-5}\\ \text{(N·m)}. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{Den} &=39{,}24\cdot(1{,}5\times10^{-6})^{2}+11{,}772\cdot(3{,}25\times10^{-6})^{2}\\\ &=39{,}24\cdot 2{,}25\times10^{-12}+11{,}772\cdot 10{,}5625\times10^{-12}\\\ &=8{,}829\times10^{-11}+1{,}2434325\times10^{-10}=2{,}1263325\times10^{-10}\\ \text{(N·m}^2\text{)}. \end{aligned}
Agora a razão e a raiz:
\frac{\text{Num}}{\text{Den}}=\frac{9{,}7119\times10^{-5}}{2{,}1263325\times10^{-10}}\approx 4{,}566\times10^{5},
\omega_{\text{rodopio}}=\sqrt{4{,}566\times10^{5}}\approx 675{,}6\\ \text{rad/s}.
Converter para frequência em hertz e rpm:
f_{\text{rodopio}}=\frac{\omega_{\text{rodopio}}}{2\pi}\approx\frac{675{,}6}{2\pi}\approx107{,}6\\ \text{Hz},
n_{\text{rodopio}}=f_{\text{rodopio}}\cdot 60\approx107{,}6\cdot60\approx6{,}456\\ \text{rpm}.
Breve explicação didática do que eu fiz aqui: o método de Rayleigh estima a frequência natural de flambagem/rodopio usando a razão entre energia potencial estimada (aqui associada a pesos vezes deflexões) e energia com quadrado das deflexões; a fórmula dada resume isso para massas discretas conhecidas e deflexões estáticas conhecidas. Não precisei obter a forma modal completa porque me deram as deflexões estáticas nos pontos de massa.

Passo 4

Preparar o cálculo das rigidezes torsionais do eixo entre as duas massas (engrenagem e polia). Explico a fórmula e a estratégia passo a passo:
  • Para uma seção cilíndrica do eixo de diâmetro d e comprimento l, a constante torsional é
k_t=\frac{G\,J}{l},
onde G é o módulo de cisalhamento e J é o momento polar de inércia da seção para torção, dado por
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Quando vários trechos de eixo ligados em série estão entre as duas massas, as rigidezes se somam como resistências em série na elasticidade torsional:
\frac{1}{k_{\text{ef}}}=\sum \frac{1}{k_{t_i}}.
  • Vou determinar quais trechos ficam entre z_{\text{eng}}=50\\ \text{mm} e z_{\text{pol}}=150\\ \text{mm}. Com base nas comprimentos fornecidos por trecho (assumo a sequência indicada no enunciado), os trechos estão posicionados assim (contagem a partir da borda esquerda):
\begin{aligned} &0\\ \text{mm}\to38\\ \text{mm}:\\ d=25\\ \text{mm},\\\ &38\\ \text{mm}\to128\\ \text{mm}:\\ d=18\\ \text{mm},\\\ &128\\ \text{mm}\to168\\ \text{mm}:\\ d=15\\ \text{mm},\\\ &168\\ \text{mm}\to203\\ \text{mm}:\\ d=10\\ \text{mm}. \end{aligned}
Dessa disposição, a engrenagem em 50\\ \text{mm} está dentro do trecho com d=18\\ \text{mm} e a polia em 150\\ \text{mm} está dentro do trecho com d=15\\ \text{mm}. Portanto o caminho entre as duas massas inclui:
  • do ponto 50\\ \text{mm} até 128\\ \text{mm}: trecho com d=18\\ \text{mm} de comprimento 128-50=78\\ \text{mm};
  • do ponto 128\\ \text{mm} até 150\\ \text{mm}: trecho com d=15\\ \text{mm} de comprimento 150-128=22\\ \text{mm}.
Vou calcular as rigidezes desses dois trechos (em série) e obter k_{\text{ef}}.

Passo 5

Cálculo do primeiro trecho (diâmetro d=18\\ \text{mm}, comprimento l=78\\ \text{mm}):
Converter para metros: d_1=0{,}018\\ \text{m}, l_{a}=0{,}078\\ \text{m}.
Calcular J_1:
J_1=\frac{\pi d_1^{4}}{32}=\frac{\pi (0{,}018)^{4}}{32}.
Faço a conta passo a passo:
(0{,}018)^{2}=0{,}000324,\qquad (0{,}018)^{4}=(0{,}000324)^{2}=1{,}04976\times10^{-7}.
J_1=\frac{\pi}{32}\cdot 1{,}04976\times10^{-7}\approx 0{,}09817477\cdot1{,}04976\times10^{-7}\approx 1{,}0308\times10^{-8}\\ \text{m}^4.
Agora k_{t1}=\dfrac{G\,J_1}{l_a}:
k_{t1}=\frac{75{,}8\times10^{9}\cdot 1{,}0308\times10^{-8}}{0{,}078}\approx 1{,}0014\times10^{4}\\ \text{N·m/rad}.

Passo 6

Cálculo do segundo trecho (diâmetro d=15\\ \text{mm}, comprimento l=22\\ \text{mm}):
Converter: d_2=0{,}015\\ \text{m}, l_{b}=0{,}022\\ \text{m}.
Calcular J_2:
(0{,}015)^{2}=0{,}000225,\qquad (0{,}015)^{4}=5{,}0625\times10^{-8}.
J_2=\frac{\pi}{32}\cdot 5{,}0625\times10^{-8}\approx 0{,}09817477\cdot5{,}0625\times10^{-8}\approx 4{,}967\times10^{-9}\\ \text{m}^4.
Agora k_{t2}=\dfrac{G\,J_2}{l_b}:
k_{t2}=\frac{75{,}8\times10^{9}\cdot 4{,}967\times10^{-9}}{0{,}022}\approx 1{,}7122\times10^{4}\\ \text{N·m/rad}.

Passo 7

Obter k_{\text{ef}} para os dois trechos em série:
\frac{1}{k_{\text{ef}}}=\frac{1}{k_{t1}}+\frac{1}{k_{t2}} \quad\Rightarrow\quad k_{\text{ef}}=\frac{k_{t1}k_{t2}}{k_{t1}+k_{t2}}.
Substituindo os valores:
k_{\text{ef}}=\frac{1{,}0014\times10^{4}\cdot 1{,}7122\times10^{4}}{1{,}0014\times10^{4}+1{,}7122\times10^{4}} \approx 6{,}318{,}7\\ \text{N·m/rad}.
( Cálculo numérico mostrado nos passos anteriores; arredondei ao número significativo compatível.)

Passo 8

Calcular a frequência torcional natural do sistema de duas massas acopladas por uma rigidez torsional equivalente. Fórmula fornecida:
\omega_{\text{torcional}}=\sqrt{k_{\text{ef}}\frac{I_{\text{eng}}+I_{\text{pol}}}{I_{\text{eng}}\cdot I_{\text{pol}}}}.
Substituir k_{\text{ef}}\approx 6{,}318{,}7\\ \text{N·m/rad}, I_{\text{eng}}=70\\ \text{kg·m}^2, I_{\text{pol}}=20\\ \text{kg·m}^2:
Primeiro a razão com momentos:
\frac{I_{\text{eng}}+I_{\text{pol}}}{I_{\text{eng}}I_{\text{pol}}}=\frac{70+20}{70\cdot20}=\frac{90}{1400}=0{,}0642857\\ \text{(kg}^{-1}\text{·m}^{-2}).
Agora o produto:
k_{\text{ef}}\cdot\frac{I_{\text{eng}}+I_{\text{pol}}}{I_{\text{eng}}I_{\text{pol}}}=6{,}318{,}7\cdot0{,}0642857\approx 406{,}0\\ \text{(rad}^2\text{/s}^2).
Logo
\omega_{\text{torcional}}=\sqrt{406{,}0}\approx 20{,}15\\ \text{rad/s}.
Converter para frequência em hertz e rpm:
f_{\text{torcional}}=\frac{\omega_{\text{torcional}}}{2\pi}\approx\frac{20{,}15}{2\pi}\approx 3{,}21\\ \text{Hz},
n_{\text{torcional}}=f_{\text{torcional}}\cdot60\approx 3{,}21\cdot60\approx 192{,}6\\ \text{rpm}.
Explicação didática curta sobre o que esse resultado significa: esse \omega_{\text{torcional}} é a freqüência natural de torção do conjunto eng+polia conectados pelo eixo (modo básico em que as duas massas oscilam em torção com relação entre si). Se a excitação torcional (por exemplo, torques periódicos, engrenamento com harmônicos, ou excitação na mesma frequência que a rotação) coincidir com essa frequência, pode haver ressonância torsional.

Passo 9

Calcular a velocidade angular de excitação (força/forçada) decorrente da rotação:
\omega_{\text{forcada}}=n\cdot\frac{2\pi}{60}=2725\cdot\frac{2\pi}{60}\approx 285{,}15\\ \text{rad/s}.
Em frequência:
f_{\text{forcada}}=\frac{\omega_{\text{forcada}}}{2\pi}= \frac{2725}{60}\approx 45{,}4167\\ \text{Hz}\quad(\text{isso é }2725\\ \text{rpm}).é
Comparações diretas (valores obtidos):
\omega_{\text{torcional}}\approx 20{,}15\\ \text{rad/s}\quad(\approx 3{,}21\\ \text{Hz}\;,\;192{,}6\\ \text{rpm}),
\omega_{\text{rodopio}}\approx 675{,}6\\ \text{rad/s}\quad(\approx 107{,}6\\ \text{Hz}\;,\;6456\\ \text{rpm}),
\omega_{\text{forcada}}\approx 285{,}15\\ \text{rad/s}\quad(\approx 45{,}42\\ \text{Hz}\;,\;2725\\ \text{rpm}).

Passo 10

Conclusão sobre ressonância (explicada de forma clara e prática):
  • Para ressonância torsional: a frequência de excitação básica é a frequência de rotação f_{\text{forcada}}=45{,}42\\ \text{Hz}. A frequência torsional natural calculada é f_{\text{torcional}}\approx 3{,}21\\ \text{Hz}. Essas duas estão muito separadas (a rotação está ~14 vezes maior que a frequência natural torsional). Portanto não haverá ressonância torsional na condição de operação considerada (a menos que exista um excitador harmônico muito forte cuja frequência coincida com 3{,}21\\ \text{Hz}, o que é improvável com rotação a 2725 rpm; harmonicos inteiros da rotação são múltiplos de 45,42 Hz, não de 3,21 Hz).
  • Para ressonância de rodopio (whirl): a frequência natural de rodopio corresponde a f_{\text{rodopio}}\approx 107{,}6\\ \text{Hz} (ou \approx6456\\ \text{rpm}). A velocidade de operação 2725\\ \text{rpm} é bem menor que essa frequência crítica. Portanto o eixo não entrará em ressonância de rodopio na rotação de 2725\\ \text{rpm}.
Motivação final simples: ressonância ocorre quando a frequência de excitação coincide (ou quase coincide) com uma frequência natural do sistema. Aqui nenhuma das frequências naturais calculadas coincide com a frequência de excitação (nem torsional, nem de rodopio), então o eixo não ressoa nas condições dadas.

Passo 11

Observações finais e incentivo (curtas):
  • As aproximações principais que fiz: usei as deflexões estáticas dadas diretamente (como pediu o enunciado) e assumi as posições dos trechos do eixo conforme a soma dos comprimentos informados. Também tomei os momentos de inércia fornecidos como \text{kg}\cdot\text{m}^2. Se algum desses pontos estivesse diferente, os números mudariam, mas o procedimento seria o mesmo.
  • Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a maneira que permite entender cada escolha. Se quiser, eu refaço as contas assumindo que as deflexões estavam em metros (não em mm) ou mudando a distribuição dos trechos do eixo — a metodologia é idêntica.

Resposta

Frequência de rodopio (whirl): \omega_{\text{rodopio}}\approx 675{,}6\\ \text{rad/s} =107{,}6\\ \text{Hz}=6{,}456\\ \text{rpm}.
Frequência torcional natural: \omega_{\text{torcional}}\approx 20{,}15\\ \text{rad/s} =3{,}21\\ \text{Hz}=192{,}6\\ \text{rpm}.
Frequência de excitação pela rotação: \omega_{\text{forcada}}\approx 285{,}15\\ \text{rad/s} =45{,}42\\ \text{Hz}=2725\\ \text{rpm}.
Conclusão sobre ressonância: Não; a rotação de 2725\\ \text{rpm} não coincide nem com a frequência torcional natural ( \approx192{,}6\\ \text{rpm}) nem com a de rodopio ( \approx6456\\ \text{rpm}), portanto o eixo não entrará em ressonância nas condições dadas.

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