The truss is made of three A-36 steel members, each having a cross-sectional area of 400 \mathrm{~mm}^{2}. Determine the horizontal displacement of the roller at C when P=8 \mathrm{kN}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pedido: determinar o deslocamento horizontal do rolete em C quando P=8\\ \text{kN}.
  • Dados fornecidos no enunciado: a treliça é formada por três membros de aço A-36; área de seção de cada membro A=400\\ \text{mm}^2; carga P=8\\ \text{kN}.
  • O enunciado NÃO fornece (informações essenciais que faltam): a figura da treliça (posição dos nós A,B,C), os comprimentos ou coordenadas dos membros, a localização exata e direção da força P (em qual nó age e em que direção), e as condições de apoio completas (tipo de apoio em A e C eu presumo, mas não está explícito).
  • Conclusão deste passo: com os dados fornecidos não há informação suficiente para calcular numericamente o deslocamento em C. A figura ou os comprimentos e a posição/direção de P são necessários.

Passo 2

Qual método usar (visão geral) — por que e como ele funciona:
  • Método escolhido: método do trabalho virtual (ou princípio de Castigliano em sua forma simplificada para treliças). Por que? Porque para uma treliça composta só por membros axiais (barra-truss), o deslocamento de um nó na direção desejada pode ser obtido aplicando uma carga unitária virtual nessa direção e somando as contribuições de deformação de cada membro.
  • Ideia central (intuição): a energia de deformação interna de cada membro quando a estrutura é carregada com a carga real junto com uma carga virtual (unitária) nos permite calcular o deslocamento na direção da carga virtual. Para treliças lineares isso reduz-se a uma soma envolvendo forças axiais reais e virtuais em cada barra.

Passo 3

Fórmula fundamental e explicação das variáveis (a “receita”):
  • Se denominarmos, para o caso real (carga P), as forças axiais nos membros por N_i e, para o caso virtual (uma carga unitária aplicada horizontalmente em C) as forças axiais nos mesmos membros por n_i, então o deslocamento na direção da carga virtual é dado por:
\delta_C \;=\; \sum_{i=1}^{3} \frac{N_i\,n_i\,L_i}{A_i\,E_i}.
  • Explicação de cada símbolo:
    • \delta_C: deslocamento na direção horizontal de C (o que se pede).
    • i: índice que percorre os 3 membros da treliça.
    • N_i: força axial no membro i devido à carga real P (sinal positivo se tração, negativo se compressão — convém manter sinal consistente).
    • n_i: força axial no membro i devido à carga virtual unitária aplicada horizontalmente em C (novamente com sinal).
    • L_i: comprimento do membro i.
    • A_i: área da seção do membro i (aqui dado: A_i=400\\ \text{mm}^2 para todos).
    • E_i: módulo de elasticidade do material do membro i. Se não for fornecido, usa-se o valor típico de aço A-36:
    E \approx 200\\ \text{GPa} = 200\times 10^{3}\\ \text{MPa}.
  • Observação prática: se todos os membros têm igual A e igual E, a fórmula fica
\delta_C = \frac{1}{A E}\sum_{i=1}^3 N_i\,n_i\,L_i,
o que simplifica cálculos.

Passo 4

Como obter N_i (forças axiais reais) — procedimento passo a passo:
  • Passo A: determinar as reações de apoio da treliça sob a carga real P. Para isso é preciso conhecer a geometria (coordenadas dos nós e onde P age) porque os momentos e as componentes horizontais/verticais dependem disso.
  • Passo B: com as reações encontradas, usar método dos nós (equilíbrio estático em cada nó) ou método das seções para encontrar cada N_i. Para cada nó sem cargas externas exceto reações, montar as equações de equilíbrio: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0.Em cada equação aparecem as componentes dos esforços axiais nas barras ligadas ao nó, que se expressam como N_i\cos\theta_i (componente horizontal) e N_i\sin\theta_i (componente vertical), onde \theta_i é o ângulo do membro i em relação ao eixo horizontal.
  • Para fazer isso você precisa dos \cos\theta_i e \sin\theta_i de cada membro, que vêm das coordenadas dos nós:
    Se um membro liga os nós com coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2), então L=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\qquad \cos\theta=\frac{x_2-x_1}{L},\qquad \sin\theta=\frac{y_2-y_1}{L}.
  • Resumo: sem a geometria (comprimentos e ângulos) não é possível calcular numericamente os N_i.

Passo 5

Como obter n_i (forças axiais virtuais) — procedimento passo a passo:
  • Defina a carga virtual: uma carga unitária 1 (unidade de força) aplicada horizontalmente na direção do deslocamento pedido em C — aqui, horizontal para a direita por convenção.
  • Repita os mesmos passos do caso real: calcule as reações (agora para a carga virtual unitária) e em seguida, pelas equações de equilíbrio nos nós, calcule as forças axiais n_i em cada membro. As mesmas relações trigonométricas \cos\theta_i,\sin\theta_i valem.
  • Observação: como a carga virtual vale 1 (unidade), os n_i que você obtiver já têm a escala correta para uso direto na fórmula do Passo 3.

Passo 6

Cálculo final do deslocamento (o que você faria assim que tiver N_i,n_i,L_i):
  • Com todos os N_i, n_i e L_i conhecidos e com A e E (dados), calcule:
\delta_C = \sum_{i=1}^{3} \frac{N_i\,n_i\,L_i}{A\,E}.
  • Atenção às unidades: se N_i e n_i estão em \text{N}, L_i em \text{mm}, A em \text{mm}^2 e E em \text{N/mm}^2 (MPa), então \delta_C sai em \text{mm}. Como P foi dado em \text{kN} e A em \text{mm}^2, converta P=8\\ \text{kN}=8000\\ \text{N}. Use E=200\\ \text{GPa}=200000\\ \text{N/mm}^2 (ou seja, 200000\\ \text{MPa} em unidades N/mm^2).
  • Se todos os membros têm igual A e E, fator comum 1/(A E) pode ser retirado antes da soma.

Passo 7

Exemplo didático (modelo simbólico) — como ficaria a expressão se eu tivesse os resultados:
  • Suponha que, após a análise, você obteve N_1,\\ N_2,\\ N_3\quad\text{(forças reais em N)},\qquad n_1,\\ n_2,\\ n_3\quad\text{(forças virtuais em N)},ççe comprimentos L_1,\\ L_2,\\ L_3\quad\text{(em mm)}.
  • Então (com A=400\\ \text{mm}^2 e E=200000\\ \text{N/mm}^2): \delta_C = \frac{1}{400\cdot 200000}\big( N_1 n_1 L_1 + N_2 n_2 L_2 + N_3 n_3 L_3\big)\quad\text{(em mm)}.
  • Isto é exatamente o que você calcularia numericamente assim que souber cada termo.

Passo 8

Resumo de quais dados você precisa me passar (sem eu perguntar, porque você não gosta de perguntas no meio do desespero, mas é informação que falta):
  • Uma imagem ou descrição completa da treliça: coordenadas dos nós (por exemplo A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), C=(x_C,y_C)) ou pelo menos os comprimentos dos três membros e como eles se conectam.
  • Em que nó e em que direção a força P atua (por exemplo: em B vertical para baixo).
  • Confirmação das condições de apoio (por exemplo: A engastado/pino e C rolete horizontal) — geralmente já presumíveis, mas é bom confirmar.
  • Se você quiser, pode também confirmar que eu devo usar E=200\\ \text{GPa} (valor padrão para A-36); se o seu enunciado der outro E, me diga.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o deslocamento horizontal em C porque o enunciado não fornece a geometria da treliça (coordenadas ou comprimentos dos membros) nem a posição/direção da força P; com esses dados é possível aplicar o procedimento acima (método do trabalho virtual) e calcular \delta_C.

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