The truss is made of three A-36 steel members, each having a cross-sectional area of
. Determine the horizontal displacement of the roller at
when
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pedido: determinar o deslocamento horizontal do rolete em
quando . - Dados fornecidos no enunciado: a treliça é formada por três membros de aço A-36; área de seção de cada membro
; carga . - O enunciado NÃO fornece (informações essenciais que faltam): a figura da treliça (posição dos nós
), os comprimentos ou coordenadas dos membros, a localização exata e direção da força (em qual nó age e em que direção), e as condições de apoio completas (tipo de apoio em e eu presumo, mas não está explícito). - Conclusão deste passo: com os dados fornecidos não há informação suficiente para calcular numericamente o deslocamento em
. A figura ou os comprimentos e a posição/direção de são necessários.
Passo 2
Qual método usar (visão geral) — por que e como ele funciona:
- Método escolhido: método do trabalho virtual (ou princípio de Castigliano em sua forma simplificada para treliças). Por que? Porque para uma treliça composta só por membros axiais (barra-truss), o deslocamento de um nó na direção desejada pode ser obtido aplicando uma carga unitária virtual nessa direção e somando as contribuições de deformação de cada membro.
- Ideia central (intuição): a energia de deformação interna de cada membro quando a estrutura é carregada com a carga real junto com uma carga virtual (unitária) nos permite calcular o deslocamento na direção da carga virtual. Para treliças lineares isso reduz-se a uma soma envolvendo forças axiais reais e virtuais em cada barra.
Passo 3
Fórmula fundamental e explicação das variáveis (a “receita”):
- Se denominarmos, para o caso real (carga
), as forças axiais nos membros por e, para o caso virtual (uma carga unitária aplicada horizontalmente em ) as forças axiais nos mesmos membros por , então o deslocamento na direção da carga virtual é dado por:
- Explicação de cada símbolo:
-
: deslocamento na direção horizontal de (o que se pede). -
: índice que percorre os 3 membros da treliça. -
: força axial no membro devido à carga real (sinal positivo se tração, negativo se compressão — convém manter sinal consistente). -
: força axial no membro devido à carga virtual unitária aplicada horizontalmente em (novamente com sinal). -
: comprimento do membro . -
: área da seção do membro (aqui dado: para todos). -
: módulo de elasticidade do material do membro . Se não for fornecido, usa-se o valor típico de aço A-36:
-
- Observação prática: se todos os membros têm igual
e igual , a fórmula fica
o que simplifica cálculos.
Passo 4
Como obter
(forças axiais reais) — procedimento passo a passo:
- Passo A: determinar as reações de apoio da treliça sob a carga real
. Para isso é preciso conhecer a geometria (coordenadas dos nós e onde age) porque os momentos e as componentes horizontais/verticais dependem disso. - Passo B: com as reações encontradas, usar método dos nós (equilíbrio estático em cada nó) ou método das seções para encontrar cada
. Para cada nó sem cargas externas exceto reações, montar as equações de equilíbrio: Em cada equação aparecem as componentes dos esforços axiais nas barras ligadas ao nó, que se expressam como (componente horizontal) e (componente vertical), onde é o ângulo do membro em relação ao eixo horizontal. - Para fazer isso você precisa dos
e de cada membro, que vêm das coordenadas dos nós:
Se um membro liga os nós com coordenadase , então - Resumo: sem a geometria (comprimentos e ângulos) não é possível calcular numericamente os
.
Passo 5
Como obter
(forças axiais virtuais) — procedimento passo a passo:
- Defina a carga virtual: uma carga unitária
(unidade de força) aplicada horizontalmente na direção do deslocamento pedido em — aqui, horizontal para a direita por convenção. - Repita os mesmos passos do caso real: calcule as reações (agora para a carga virtual unitária) e em seguida, pelas equações de equilíbrio nos nós, calcule as forças axiais
em cada membro. As mesmas relações trigonométricas valem. - Observação: como a carga virtual vale 1 (unidade), os
que você obtiver já têm a escala correta para uso direto na fórmula do Passo 3.
Passo 6
Cálculo final do deslocamento (o que você faria assim que tiver
):
- Com todos os
, e conhecidos e com e (dados), calcule:
- Atenção às unidades: se
e estão em , em , em e em (MPa), então sai em . Como foi dado em e em , converta . Use (ou seja, em unidades N/mm^2). - Se todos os membros têm igual
e , fator comum pode ser retirado antes da soma.
Passo 7
Exemplo didático (modelo simbólico) — como ficaria a expressão se eu tivesse os resultados:
- Suponha que, após a análise, você obteve
e comprimentos - Então (com
e ): - Isto é exatamente o que você calcularia numericamente assim que souber cada termo.
Passo 8
Resumo de quais dados você precisa me passar (sem eu perguntar, porque você não gosta de perguntas no meio do desespero, mas é informação que falta):
- Uma imagem ou descrição completa da treliça: coordenadas dos nós (por exemplo
, , ) ou pelo menos os comprimentos dos três membros e como eles se conectam. - Em que nó e em que direção a força
atua (por exemplo: em vertical para baixo). - Confirmação das condições de apoio (por exemplo:
engastado/pino e rolete horizontal) — geralmente já presumíveis, mas é bom confirmar. - Se você quiser, pode também confirmar que eu devo usar
(valor padrão para A-36); se o seu enunciado der outro , me diga.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o deslocamento horizontal em
porque o enunciado não fornece a geometria da treliça (coordenadas ou comprimentos dos membros) nem a posição/direção da força
; com esses dados é possível aplicar o procedimento acima (método do trabalho virtual) e calcular
.