The post is made of Douglas fir and has a diameter of 100 mm . If it is subjected to the load of 20 kN and the soil provides a frictional resistance distributed around the post that is triangular along its sides; that is, it varies from w=0 at y=0 to w=12 \mathrm{kN} / \mathrm{m} at y=2 \mathrm{~m}, determine the force \mathbf{F} at its bottom needed for equilibrium. Also, what is the displacement of the top of the post A with respect to its bottom B ? Neglect the weight of the post.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a força no fundo do poste \mathbf{F} necessária para equilíbrio.
  • Determinar o deslocamento do topo A em relação ao fundo B.
Informações dadas:
  • Diâmetro do poste: \,d=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da parte em contato com o solo: \,L=2\\ \mathrm{m} (a variação de w é dada de y=0 até y=2\\ \mathrm{m}).
  • Carga aplicada no topo: \,P=20\\ \mathrm{kN} (tomamos direção para baixo).
  • Atrito distribuído ao longo do lado do poste com distribuição triangular: w=0 em y=0 e w=12\\ \mathrm{kN/m} em y=2\\ \mathrm{m}. Ou seja, w(y) varia linearmente de 0 a 12\\ \mathrm{kN/m}.
  • Desprezar o peso do poste.
  • Não foi fornecido explicitamente o módulo de elasticidade; vou usar um valor típico para madeira Douglas fir: E=12{,}0\\ \mathrm{GPa}=12\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}. Se o seu enunciado pede outro E, troque esse número nos cálculos.
O que vamos fazer a seguir: calcular o resultante da distribuição w(y) (força total de atrito), usar o equilíbrio vertical para achar F, montar a expressão da força axial ao longo do poste N(y) e integrar para obter a deformação axial total \Delta = deslocamento de A relativo a B.

Passo 2

Escrever a expressão da distribuição linear w(y).
Como w varia linearmente de 0 em y=0 até 12\\ \mathrm{kN/m} em y=2\\ \mathrm{m}, a inclinação é
\frac{12\\ \mathrm{kN/m}-0}{2\\ \mathrm{m}}=6\\ \mathrm{kN/m^2}.
Logo podemos escrever
w(y)=6\,y\quad\text{(em }\mathrm{kN/m}\text{), para }0\le y\le 2.

Passo 3

Calcular o resultante da distribuição w(y) (força total de atrito transferida pelo solo ao longo do poste).
O resultante é a integral:
R=\int_{0}^{2} w(y)\,dy=\int_{0}^{2}6y\,dy.
Calculando a integral:
R=\left.3y^{2}\right|_{0}^{2}=3\cdot 2^{2}=12\\ \mathrm{kN}.
Interpretação física: o solo aplica uma força resultante de 12\\ \mathrm{kN} no sentido que resiste à carga P (assumimos que ela atua para cima, opondo-se a P).

Passo 4

Equilíbrio vertical para encontrar a força no fundo F.
Somando forças verticais (tomando positivo para cima):
\sum F_y=0 \quad\Rightarrow\quad F + R - P = 0.
Então
F = P - R = 20\\ \mathrm{kN} - 12\\ \mathrm{kN} = 8\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: o fundo precisa fornecer uma força de 8\\ \mathrm{kN} para cima para equilibrar a carga de 20\\ \mathrm{kN} mais a resistência do solo. Em termos de sentido ao longo do poste, a força axial no pé (reação) tem módulo 8\\ \mathrm{kN} dirigida para cima (ou seja, o poste transmite 8\\ \mathrm{kN} para a fundação).

Passo 5

Determinar a força axial interna N(y) ao longo do poste — necessária para calcular deformação.
Em qualquer seção a distância y a partir do topo, a força axial interna N(y) (tomando positiva para a direção da carga aplicada, ou seja, compressão positiva) é a carga aplicada no topo menos a resultante do atrito acumulada até y:
N(y)=P-\int_{0}^{y} w(s)\,ds.
Como w(s)=6s,
\int_{0}^{y} w(s)\,ds=\int_{0}^{y}6s\,ds=3y^{2},
logo, em unidades de \mathrm{kN},
N(y)=20 - 3y^{2}\quad\text{(em kN), para }0\le y\le 2.
Verificação rápida: N(0)=20\\ \mathrm{kN} (no topo), N(2)=20-3\cdot4=8\\ \mathrm{kN} (no pé) — bate com o resultado do equilíbrio.

Passo 6

Fórmula da deformação axial total e cálculo do deslocamento.
A fórmula de alongamento/compressão axial para uma barra com força axial variável é
\Delta=\int_{0}^{L}\frac{N(y)}{E\,A}\,dy,
onde:
  • \Delta é o deslocamento de A relativo a B (positivo se o topo se move para baixo, isto é, se o poste encurta),
  • N(y) é a força axial (em N),
  • E é o módulo de Young (em Pa),
  • A é a área da seção transversal (em m^{2}),
  • y é a coordenada ao longo do eixo do poste (m).
Calcular a área da seção circular:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\pi\left(\frac{0{,}100}{2}\right)^{2}=\pi(0{,}05)^{2}=\pi\cdot 0{,}0025=0{,}0078539816\\ \mathrm{m^{2}}.
Substituímos N(y) (converter para N) e integramos:
Primeiro escrevemos N(y) em N: N(y)=\bigl(20-3y^{2}\bigr)\\ \mathrm{kN}=(20\,000-3\,000\,y^{2})\\ \mathrm{N}.
Agora a integral:
\Delta=\frac{1}{E A}\int_{0}^{2} (20\,000-3\,000\,y^{2})\,dy.
Calcule a integral:
\int_{0}^{2}(20\,000-3\,000y^{2})\,dy = \left[20\,000y-1\,000y^{3}\right]_{0}^{2} = 40\,000 - 8\,000 = 32\,000\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calcule E A:
E A = 12\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}0078539816\\ \mathrm{m^{2}} = 94\,247\,779{,}6\\ \mathrm{N}.
Portanto
\Delta=\frac{32\,000}{94\,247\,779{,}6}=0{,}000339714\\ \mathrm{m}=0{,}3397\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox.}).
Significado do sinal e direção: como N(y) é uma compressão, o poste encurta; então o topo A desloca-se para baixo em relação ao fundo B cerca de 0{,}3397\\ \mathrm{mm}.

Resposta

F=8\\ \mathrm{kN} (para cima)\n
O topo A desloca-se para baixo em relação ao fundo B de \Delta=0{,}3397\\ \mathrm{mm} (aprox.).

Exercícios relacionados