Um dipolo elétrico tem momento \boldsymbol{p}=3 \mathbf{a}_{x}-5 \mathbf{a}_{y}+10 \mathbf{a}_{z} \mathrm{nC} \cdot \mathrm{m} e está posicionado em Q(1,2-4) no espaço livre. Determine o potencial (\mathrm{V}) no ponto P(2,3,4).

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede e o que nos é dado):
  • Temos um dipolo elétrico com momento \boldsymbol{p} = 3\,\mathbf{a}_x - 5\,\mathbf{a}_y + 10\,\mathbf{a}_z em unidades de \mathrm{nC\cdot m}.
  • O dipolo está posicionado em Q(1,2,-4). (Interpretei o enunciado Q(1,2-4) como Q(1,2,-4).)
  • Queremos o potencial elétrico V no ponto P(2,3,4).
  • Informação sobre unidades: 1\,\mathrm{nC}=10^{-9}\,\mathrm{C}.
  • A questão pede um único valor: o potencial V (em volts) no ponto P.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática do que cada símbolo significa):
A expressão do potencial escalar devido a um dipolo elétrico localizado em \mathbf{r}_0, com momento dipolar \mathbf{p}, no ponto \mathbf{r} do espaço é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{p} é o vetor momento de dipolo (unidade: \mathrm{C\cdot m}); aqui foi dado em \mathrm{nC\cdot m}, então depois converteremos.
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde queremos o potencial (aqui P).
  • \mathbf{r}_0 é o vetor posição do dipolo (aqui Q).
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 é o vetor deslocamento do dipolo até o ponto; sua magnitude é a distância entre dipolo e ponto.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx 8{,}854\,187\,817\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
  • O fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática k, com valor aproximado k\approx 8{,}987\,551\,792\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Essa fórmula vale no regime quasistático e no espaço livre.

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0 numericamente:
As coordenadas de P são (2,3,4) e de Q são (1,2,-4). Portanto
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0 = (2-1)\,\mathbf{a}_x + (3-2)\,\mathbf{a}_y + (4-(-4))\,\mathbf{a}_z = 1\,\mathbf{a}_x + 1\,\mathbf{a}_y + 8\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

Calcular a magnitude de \mathbf{R} e |\mathbf{R}|^3:
|\mathbf{R}|=\sqrt{1^2+1^2+8^2}=\sqrt{66}.
|\mathbf{R}|^3 = \big(\sqrt{66}\big)^3 = 66\sqrt{66}.
Para os cálculos numéricos a seguir, \sqrt{66}\approx 8{,}1240384046, logo
|\mathbf{R}|^3 \approx 66\times 8{,}1240384046 \approx 536{,}1865347\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{p}\cdot\mathbf{R}:
O vetor \mathbf{p} foi dado em \mathrm{nC\cdot m}: \mathbf{p}=3\,\mathbf{a}_x -5\,\mathbf{a}_y +10\,\mathbf{a}_z (nC·m). O produto escalar com \mathbf{R}=1\,\mathbf{a}_x+1\,\mathbf{a}_y+8\,\mathbf{a}_z é
\mathbf{p}\cdot\mathbf{R} = 3\cdot 1 + (-5)\cdot 1 + 10\cdot 8 = 3 - 5 + 80 = 78.
Unidades aqui: 78 está em \mathrm{nC\cdot m^2} (pois \mathbf{p} em \mathrm{nC\cdot m} vezes \mathbf{R} em m dá \mathrm{nC\cdot m^2}).
Comentário sobre o produto escalar: o produto escalar entre dois vetores (a_x,a_y,a_z) e (b_x,b_y,b_z) é a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. É assim que obtivemos 78 — soma dos produtos componente a componente.

Passo 6

Converter unidades para o SI (Coulomb, metro):
\mathbf{p}\cdot\mathbf{R} = 78\\ \mathrm{nC\cdot m^2} = 78\times 10^{-9}\\ \mathrm{C\cdot m^2} = 7{,}8\times 10^{-8}\\ \mathrm{C\cdot m^2}.

Passo 7

Substituir tudo na fórmula e calcular numericamente:
Usando
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|^3},
temos numericamente
V \approx (8{,}987\,551\,792\times10^{9})\cdot\frac{78\times10^{-9}}{536{,}1865347}.
Calcule a fração primeiro:
\frac{78\times10^{-9}}{536{,}1865347} \approx 1{,}45451867\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m}.
Agora multiplica pelo fator 1/(4\pi\varepsilon_0):
V \approx 8{,}987\,551\,792\times10^{9}\times 1{,}45451867\times10^{-10}\\ \mathrm{V}.
Os expoentes combinam para 10^{9}\times10^{-10}=10^{-1}, então numericamente
V \approx 1{,}307\\ \mathrm{V}\quad(\text{aproximadamente}).

Passo 8

Arredondamento e interpretação final:
  • Mantendo três algarismos significativos, temos V \approx 1{,}31\\ \mathrm{V}.
  • O sinal positivo indica que o potencial produzido pelo dipolo no ponto P é positivo (dependendo da orientação do vetor \mathbf{p} e da posição relativa).

Resposta

V\approx 1{,}31\\ \mathrm{V}

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