Questão 3(2,0) Um elevador e sua carga possuem massa total igual a 800 kg . O elevador está inicialmente descendo com velocidade igual a 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; a seguir, ele atinge o repouso em uma distância de 25,0 \mathrm{~m}.
(a) Ache a tração T no cabo de suporte enquanto o elevador está diminuindo de velocidade até atingir o repouso.
(b) Uma mulher de 50,0 \mathrm{~kg} está dentro do elevador da letra (a). Qual è o módulo da força de reação que o elevador exerce sobre a passageira?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Massa total do elevador com carga: m_{\text{elev}} = 800\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do elevador: v_0 = 10{,}0\\ \mathrm{m/s} para baixo.
  • O elevador atinge o repouso após percorrer uma distância s = 25{,}0\\ \mathrm{m} (também para baixo).
  • Considere a aceleração da gravidade como g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
Perguntas:
(a) Qual é a tração T no cabo enquanto o elevador desacelera até parar?
(b) Se dentro do elevador há uma mulher de massa m_{\text{mulher}} = 50{,}0\\ \mathrm{kg}, qual é o módulo da força de reação (normal) N que o piso do elevador exerce sobre ela?

Passo 2

Vamos encontrar a aceleração do elevador durante a frenagem (antes de aplicar forças). Usamos a equação da cinemática que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento quando a aceleração é constante:
v^2 = v_0^2 + 2 a s
onde:
  • v é a velocidade final,
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (positiva no sentido escolhido),
  • s é o deslocamento no mesmo sentido.
Aqui, o elevador está inicialmente descendo e acaba em repouso. Para facilitar as contas, escolho o sentido para baixo como positivo. Assim:
  • v_0 = 10{,}0\\ \mathrm{m/s} (para baixo, positivo),
  • v = 0\\ \mathrm{m/s},
  • s = 25{,}0\\ \mathrm{m} (deslocamento para baixo, positivo).
Substituindo na fórmula e resolvendo para a:
0^2 = (10{,}0)^2 + 2 a (25{,}0).
Logo,
a = -\dfrac{(10{,}0)^2}{2\cdot 25{,}0} = -\dfrac{100{,}0}{50{,}0} = -2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Interpretação do sinal: como escolhemos o sentido para baixo positivo, a = -2{,}0\\ \mathrm{m/s^2} significa que a aceleração está dirigida para cima, ou seja, o elevador está desacelerando com módulo 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2} (aceleração para cima).
Para aplicar as leis de Newton com notação mais direta, vamos agora tomar o sentido para cima como positivo (padrão em forças). Nesse sentido, a aceleração do elevador é
a = +2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(para cima)}.

Passo 4

Aplique a segunda lei de Newton ao elevador (corpo de massa m_{\text{elev}}). As forças verticais atuantes são:
  • Tração no cabo T para cima,
  • Peso m_{\text{elev}} g para baixo.
Escolhendo para cima positivo, a segunda lei é
\sum F = m_{\text{elev}} a \quad\Rightarrow\quad T - m_{\text{elev}} g = m_{\text{elev}} a.
Desse modo,
T = m_{\text{elev}}(g + a).
Aqui g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} e a = 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente a tração:
T = 800\cdot(9{,}80 + 2{,}0) = 800\cdot 11{,}80 = 9440\\ \mathrm{N}.
Explanação curta: o cabo precisa fornecer força suficiente para suportar o peso m g e ainda produzir a aceleração para cima m a; por isso soma-se g e a.

Passo 6

Agora a passageira de massa m_{\text{mulher}} = 50{,}0\\ \mathrm{kg}. As forças sobre ela são:
  • Força normal do piso N para cima,
  • Peso m_{\text{mulher}} g para baixo.
Aplicando a segunda lei (com sentido para cima positivo e mesma aceleração a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^2} pois ela acelera junto com o elevador):
N - m_{\text{mulher}} g = m_{\text{mulher}} a,
portanto
N = m_{\text{mulher}}(g + a).

Passo 7

Cálculo numérico da força de reação:
N = 50{,}0\cdot(9{,}80 + 2{,}0) = 50{,}0\cdot 11{,}80 = 590\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida e motivadora: o “peso aparente” da pessoa aumenta porque, ao frear para parar, o elevador acelera para cima, então o chão precisa empurrar mais a pessoa (força normal maior que o peso).

Resposta

(a) T = 9440\\ \mathrm{N}
(b) N = 590\\ \mathrm{N}

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