Um disco de 10 cm de raio gira em torno de seu eixo, partindo do repouso, com aceleracão angular de 10 rad / s^2. No instante t=5 s, quais serão a) a velocidade angular, b) a aceleracão tangencial, e c) a aceleracão radial de um ponto na borda do disco? d) Quanto vale a aceleracão resultante desse ponto?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um disco com raio de 10 cm que começa a girar do nada, com uma aceleração angular de 10 , rad/s^2. Queremos saber, no tempo de 5 segundos:
a) Qual é a velocidade angular?
b) Qual é a aceleração tangencial?
c) Qual é a aceleração radial?
d) Quanto vale a aceleração total desse ponto na borda do disco?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular, e as acelerações tangencial e radial que um ponto em movimento circular experimenta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular após 5 segundos. A fórmula para a velocidade angular quando há aceleração angular constante é:
omega = omega0 + alpha t
Aqui, omega0 é a velocidade angular inicial, que é 0 porque o disco parte do repouso. Então:
omega = 0 + 10 , rad/s^2 times 5 , s = 50 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração tangencial. A aceleração tangencial ( at) está ligada à aceleração angular e ao raio do disco pela fórmula:
at = alpha times r
O raio r é 10 cm, que precisamos converter para metros:
r = 10 , cm = 0,10 , m
Então:
at = 10 , rad/s^2 times 0,10 , m = 1 , m/s^2

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a aceleração radial (também chamada de centrípeta). Essa aceleração depende da velocidade angular e do raio, e é dada por:
ar = omega^2 times r
Já sabemos que omega = 50 , rad/s e r = 0,10 , m, então:
ar = (50)^2 times 0,10 = 250 , m/s^2

Passo 5

Por fim, vamos achar a aceleração resultante ( atotal) desse ponto. Como as acelerações tangencial e radial são perpendiculares entre si, usamos o teorema de Pitágoras:
atotal = raizat^2 + ar^2
Substituindo os valores:
atotal = raiz(1)^2 + (250)^2 approx raiz1 + 62500 approx raiz62501 approx 250 , m/s^2
Na prática, como ar é muito maior que at, a aceleração total é praticamente igual à aceleração radial.

Resposta

a) A velocidade angular é 50 , rad/s.
b) A aceleração tangencial é 1 , m/s^2.
c) A aceleração radial é 250 , m/s^2.
d) A aceleração resultante desse ponto é aproximadamente 250 , m/s^2.

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