Um disco de 0,102 \mathrm{~m} de raio, gira uniformemente com velocidade angular \omega_{2}=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno do braço A B C, que por sua vez gira a uma velocidade angular constante \omega_{1}=3 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno do eixo y. Determine
a aceleração angular do disco

Passo 1

O enunciado descreve um braço rígido que gira em torno do eixo vertical y com velocidade angular constante \omega_{1}=3,rad/s e, na extremidade desse braço (no ponto C), um disco de raio 0,102 m gira em torno de um eixo fixo ao braço com velocidade angular relativa \omega_{2}=5,rad/s. O que queremos é a aceleração angular do disco em relação a um referencial inercial. O conteúdo usado será o de cinemática vetorial de rotações, em particular a derivada temporal do vetor velocidade angular.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos fixos \{\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} com \mathbf j na direção do eixo vertical y, \mathbf i na direção inicial do braço e \mathbf k=\mathbf j\times\mathbf i. Definimos o ângulo do braço em torno de \mathbf j como \varphi=\omega_{1}t. O eixo de rotação do disco está sempre na direção radial do braço no plano xz, dado pelo versor
\mathbf e_{r}=\cos\varphi\,\mathbf i+\sin\varphi\,\mathbf k.
Logo, o vetor velocidade angular do disco no inercial é
\boldsymbol\omega=\omega_{1}\,\mathbf j+\omega_{2}\,\mathbf e_{r}.

Passo 3

Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes, a aceleração angular \boldsymbol\alpha é
\boldsymbol\alpha=\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\omega_{1}\mathbf j\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(\omega_{2}\mathbf e_{r}\bigr) =\omega_{2}\,\frac{d\mathbf e_{r}}{dt}.
Mas
\frac{d\mathbf e_{r}}{dt} =\dot\varphi\bigl(-\sin\varphi\,\mathbf i+\cos\varphi\,\mathbf k\bigr) =\omega_{1}\,\mathbf e_{t},
onde
\mathbf e_{t}=-\sin\varphi\,\mathbf i+\cos\varphi\,\mathbf k
é o versor tangencial à trajetória de C no plano xz. Portanto
\boldsymbol\alpha =\omega_{2}\,\omega_{1}\,\mathbf e_{t}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos \omega_{1}=3,rad/s e \omega_{2}=5,rad/s, obtemos
\boldsymbol\alpha =15\;\mathbf e_{t} \quad\text{(rad/s\(^2\))},
ou em componentes, usando \varphi=\omega_{1}t,
\boldsymbol\alpha =15\bigl(-\sin(\omega_{1}t)\,\mathbf i+\cos(\omega_{1}t)\,\mathbf k\bigr) \quad\text{(rad/s\(^2\))}.

Resposta

\boxed{\boldsymbol\alpha =15\;\mathbf e_{t} \quad\bigl[\,\text{rad/s}^2\bigr],}
onde \mathbf e_{t}=-\sin(\omega_{1}t)\,\mathbf i+\cos(\omega_{1}t)\,\mathbf k.

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