15.201 Uma placa quadrada com lado 2 r é soldada a um eixo vertical que gira com velocidade angular constante \omega_{1}. Simultaneamente, a barra A B, de comprimento r, gira em torno do centro da placa com velocidade angular constante \omega_{2} em relação à placa. Para a posição da placa ilustrada, determine a aceleração da extremidade B da barra se
\theta=180^{\circ}

Passo 1

O enunciado descreve um disco quadrado de lado 2r que gira em torno do eixo vertical (eixo Z) com velocidade angular constante \omega_{1}. No seu centro A está presa a barra AB de comprimento r, que é inclinada 30^\circ em relação ao plano do disco (plano horizontal) e gira em torno do mesmo eixo vertical com velocidade angular constante \omega_{2} relativa ao disco. Queremos a aceleração de B no referencial inercial quando o ângulo relativo da barra no plano horizontal é \theta=180^\circ.
Conteúdo: cinemática de corpo rígido com rotações compostas.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas inerciais OXYZ, com XY no plano do disco (horizontal) e Z para cima. Seja \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\} a base inercial.
No instante dado a barra faz ângulo \theta=180^\circ no plano XY. O vetor posição de B em relação a A decompõe‐se em componente horizontal e vertical:
\mathbf{r}_{B/A} = r\cos30^\circ\bigl(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}\bigr) \;+\;r\sin30^\circ\,\mathbf{k}.

Passo 3

Como \omega_1 e \omega_2 são constantes e ambos em direção \mathbf{k}, definimos a velocidade angular total da barra no inercial:
\boldsymbol{\omega} = (\omega_1+\omega_2)\,\mathbf{k}.
Em consequência a componente vertical de \mathbf{r}_{B/A} não contribui para a velocidade nem para a aceleração centrípeta (pois \mathbf{k}\times\mathbf{k}=0).

Passo 4

A velocidade absoluta de B é simplesmente a velocidade de rotação em torno de Z de sua projeção horizontal:
\mathbf{v}_B =\boldsymbol{\omega}\times\bigl[r\cos30^\circ(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j})\bigr] =(\omega_1+\omega_2)\,r\cos30^\circ\bigl(-\sin\theta\,\mathbf{i}+\cos\theta\,\mathbf{j}\bigr).

Passo 5

Derivando em relação ao tempo (e lembrando \omega_1+\omega_2 constante e \theta variando de modo que \dot\theta=\omega_1+\omega_2), obtemos só aceleração centrípeta na projeção horizontal:
\mathbf{a}_B =\boldsymbol{\omega}\times\bigl(\boldsymbol{\omega}\times[r\cos30^\circ(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j})]\bigr) =-(\omega_1+\omega_2)^2\,r\cos30^\circ (\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}).

Passo 6

Para \theta=180^\circ temos \cos180^\circ=-1, \sin180^\circ=0. Então
\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j} =-\mathbf{i},
e a aceleração de B fica
\mathbf{a}_B =-(\omega_1+\omega_2)^2\,r\cos30^\circ\,(-\mathbf{i}) =(\omega_1+\omega_2)^2\,r\frac{\sqrt3}{2}\,\mathbf{i}.

Resposta

\mathbf{a}_B =(\omega_1+\omega_2)^2\,r\,\frac{\sqrt3}{2}\;\mathbf{i}.

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