O disco está originalmente girando a \omega_{0}=12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Se ele é submetido a uma aceleração angular constante \alpha=20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, determine as intensidades da velocidade e das componentes n e t da aceleração do ponto A no instante t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
  • Dado inicial da rotação: \omega_{0}=12\\ \mathrm{rad/s}.
  • Aceleração angular constante: \alpha=20\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Instante em que devemos avaliar: t=2\\ \mathrm{s}.
  • Pede-se: a intensidade da velocidade do ponto A e as intensidades das componentes normal ( n) e tangencial ( t) da aceleração do ponto A no instante dado.
Observação importante: o enunciado não fornece a distância do ponto A ao centro do disco (ou seja, o raio r em que A está). Como não posso pedir informação adicional, vou expressar as respostas em função de r. Se você souber o valor numérico de r, basta substituir nas fórmulas finais para obter números.

Passo 2

Começamos encontrando a velocidade angular \omega(t) no instante t. Para movimento com aceleração angular constante a relação é a mesma da cinemática retilínea (velocidade inicial + aceleração × tempo), logo
\omega(t)=\omega_{0}+\alpha\,t.
Aqui \omega(t) é a velocidade angular no instante t (em \mathrm{rad/s}), \omega_{0} é a velocidade angular inicial, \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^{2}}) e t é o tempo em segundos.

Passo 3

Agora calculemos \omega em t=2\\ \mathrm{s} substituindo os valores dados:
\omega(2)=\omega_{0}+\alpha\cdot 2 = 12 + 20\cdot 2 = 12 + 40 = 52\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relação entre velocidade linear e velocidade angular. Para um ponto a uma distância r do centro de rotação, a velocidade linear (módulo) é dada por
v=\omega\,r.
Explicação didática: o ponto descreve um movimento circular instantâneo de raio r; a velocidade linear tangencial tem magnitude igual à velocidade angular (em \mathrm{rad/s}) multiplicada pelo raio (em \mathrm{m}), resultando em \mathrm{m/s}.

Passo 5

Substituindo \omega(2)=52\\ \mathrm{rad/s} na fórmula de v obtemos a velocidade do ponto A no instante pedido, em função de r:
v(2)=52\,r\quad(\mathrm{m/s}),
onde r deve ser dado em metros para que v fique em \mathrm{m/s}.

Passo 6

Componentes da aceleração de um ponto em rotação com aceleração angular. A aceleração de um ponto em movimento circular pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares:
  • componente tangencial a_{t}, responsável pela variação da magnitude da velocidade linear;
  • componente normal (centrípeta) a_{n}, responsável pela mudança da direção da velocidade.
As fórmulas são
a_{t}= \alpha\,r,
a_{n}= \omega^{2}\,r.
Explicação didática curta: a_{t} = \dfrac{d v}{d t} = r\,\dfrac{d\omega}{dt} = r\,\alpha. Já a_{n} = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{(\omega r)^{2}}{r} = \omega^{2} r.

Passo 7

Calculemos as componentes em t=2\\ \mathrm{s}. Usamos \alpha=20\\ \mathrm{rad/s^{2}} e \omega(2)=52\\ \mathrm{rad/s}:
Componente tangencial:
a_{t}(2)=\alpha\,r = 20\,r\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Componente normal:
a_{n}(2)=\omega(2)^{2}\,r = 52^{2}\,r = 2704\,r\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 8

Verificação de unidades e comentário final.
  • Se r estiver em metros, então v fica em \mathrm{m/s} e a_{t},a_{n} em \mathrm{m/s^{2}}.
  • Exemplo numérico ilustrativo: se r=0{,}10\\ \mathrm{m} (10 cm), então v=52\cdot 0{,}10=5{,}2\\ \mathrm{m/s}, a_{t}=20\cdot 0{,}10=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{n}=2704\cdot 0{,}10=270{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}}. Isso mostra que a componente centrípeta costuma ser muito maior quando \omega é grande.

Resposta

\;v(2)=52\,r\\ \mathrm{(m/s)}
\;a_{n}(2)=2704\,r\\ \mathrm{(m/s^{2})}
\;a_{t}(2)=20\,r\\ \mathrm{(m/s^{2})}

Exercícios relacionados