A velocidade angular do disco é definida por
, onde
é dado em segundos. Se o disco está originalmente girando a
, determine a intensidade da velocidade e as componentes
e
da aceleração do ponto
no disco quando
.
Passo 1
Enunciado e dados que temos (sem resolver nada ainda):
- A aceleração angular é dada por
, com em segundos. - A velocidade angular inicial é
no instante . - Queremos, no instante
: - a intensidade (módulo) da velocidade linear do ponto
; - as componentes normal (
) e tangencial ( ) da aceleração do ponto .
- a intensidade (módulo) da velocidade linear do ponto
- Observação importante: o enunciado que recebi não informa a distância do ponto
ao centro do disco. Essa distância é necessária para obter valores numéricos das quantidades lineares (velocidade e acelerações). Vou chamar essa distância de (isto é, é a coordenada radial do ponto , em metros) e expressar as respostas em função de . Não peço informação adicional; trabalho com simbólico.
Passo 2
Relacionamento entre
e
e cálculo de
:
A aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
Para obter
integramos
e usamos a condição inicial
. Assim,
onde eu troquei a variável de integração para
por clareza. Agora faço a integral:
Portanto
Passo 3
Avaliar
em
:
Substituindo
e
,
Então a velocidade angular no instante pedido é
.
Passo 4
Cálculo da intensidade (módulo) da velocidade linear do ponto
:
Para um ponto a distância
do centro em rotação pura, a velocidade linear (tangencial) tem módulo dado por
Aqui
está em
e
em
, portanto
fica em
. Substituindo
obtemos
Isso significa: para cada metro de raio, a velocidade é
; se
fosse, por exemplo,
,
, etc.
Passo 5
Cálculo das componentes tangencial e normal da aceleração no instante
:
Conceitos e fórmulas:
- A componente tangencial da aceleração mede a taxa de variação do módulo da velocidade linear. Para rotação pura ela é
pois
.
- A componente normal (centrípeta) aponta para o centro e tem módulo
Essas fórmulas são básicas em cinemática rotacional:
vem da mudança do módulo de
e
da curvatura da trajetória circular.
Agora avalio
e
em
:
Já tínhamos
.
Substituindo nas fórmulas:
(Se quiser o módulo total da aceleração, combina-se as componentes ortogonais:
Mas o enunciado pediu especificamente as componentes
e
.)