A velocidade angular do disco é definida por \alpha=3 t^{2}+12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos. Se o disco está originalmente girando a \omega_{0}=12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine a intensidade da velocidade e as componentes n e t da aceleração do ponto A no disco quando t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (sem resolver nada ainda):
  • A aceleração angular é dada por \alpha(t)=3t^{2}+12 \mathrm{rad/s^{2}}, com t em segundos.
  • A velocidade angular inicial é \omega_{0}=12 \mathrm{rad/s} no instante t=0.
  • Queremos, no instante t=2\\ \mathrm{s}:
    • a intensidade (módulo) da velocidade linear do ponto A;
    • as componentes normal ( n) e tangencial ( t) da aceleração do ponto A.
  • Observação importante: o enunciado que recebi não informa a distância do ponto A ao centro do disco. Essa distância é necessária para obter valores numéricos das quantidades lineares (velocidade e acelerações). Vou chamar essa distância de r (isto é, r é a coordenada radial do ponto A, em metros) e expressar as respostas em função de r. Não peço informação adicional; trabalho com r simbólico.

Passo 2

Relacionamento entre \alpha e \omega e cálculo de \omega(t):
A aceleração angular é a derivada da velocidade angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Para obter \omega(t) integramos \alpha e usamos a condição inicial \omega(0)=\omega_{0}. Assim,
\omega(t)=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\alpha(\tau)\,d\tau
onde eu troquei a variável de integração para \tau por clareza. Agora faço a integral:
\int_{0}^{t}\bigl(3\tau^{2}+12\bigr)\,d\tau =\left[\tau^{3}+12\tau\right]_{0}^{t} =t^{3}+12t.
Portanto
\omega(t)=\omega_{0}+t^{3}+12t.

Passo 3

Avaliar \omega em t=2\\ \mathrm{s}:
Substituindo t=2 e \omega_{0}=12,
\omega(2)=12+2^{3}+12\cdot 2=12+8+24=44\\ \mathrm{rad/s}.
Então a velocidade angular no instante pedido é \omega(2)=44\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Cálculo da intensidade (módulo) da velocidade linear do ponto A:
Para um ponto a distância r do centro em rotação pura, a velocidade linear (tangencial) tem módulo dado por
v=r\omega.
Aqui \omega está em \mathrm{rad/s} e r em \mathrm{m}, portanto v fica em \mathrm{m/s}. Substituindo \omega(2)=44 obtemos
v(2)=44\,r\\ \mathrm{m/s}.
Isso significa: para cada metro de raio, a velocidade é 44\\ \mathrm{m/s}; se r fosse, por exemplo, 0{,}1\\ \mathrm{m}, v=4{,}4\\ \mathrm{m/s}, etc.

Passo 5

Cálculo das componentes tangencial e normal da aceleração no instante t=2\\ \mathrm{s}:
Conceitos e fórmulas:
  • A componente tangencial da aceleração mede a taxa de variação do módulo da velocidade linear. Para rotação pura ela é
a_{t}=r\,\alpha,
pois a_{t}=\dfrac{dv}{dt}=r\,\dfrac{d\omega}{dt}=r\,\alpha.
  • A componente normal (centrípeta) aponta para o centro e tem módulo
a_{n}=\frac{v^{2}}{r}=r\,\omega^{2}.
Essas fórmulas são básicas em cinemática rotacional: a_{t} vem da mudança do módulo de v e a_{n} da curvatura da trajetória circular.
Agora avalio \alpha e \omega em t=2:
\alpha(2)=3\cdot 2^{2}+12=3\cdot 4+12=12+12=24\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Já tínhamos \omega(2)=44\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo nas fórmulas:
a_{t}(2)=r\,\alpha(2)=r\cdot 24=24\,r\\ \mathrm{m/s^{2}},
a_{n}(2)=r\,\omega(2)^{2}=r\cdot 44^{2}=r\cdot 1936=1936\,r\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Se quiser o módulo total da aceleração, combina-se as componentes ortogonais:
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}=r\sqrt{24^{2}+1936^{2}}\approx 1936{,}148\,r\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Mas o enunciado pediu especificamente as componentes n e t.)

Resposta

v(2)=44\,r\\ \mathrm{m/s}
a_{t}(2)=24\,r\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_{n}(2)=1936\,r\\ \mathrm{m/s^{2}}

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