Um disco possui raio externo b e interno a e uma densidade superficial de carga sigma. (a) Qual é a carga total do disco? (b) Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância z1>0 do seu centro?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um anel (disco com furo) de raio interno V(r) = 14pivarepsilon0integral sigma,dA|r-r'|, e externo , com densidade superficial de carga .
Conteúdo: eletrostática, densidade de carga superficial e integral para encontrar carga total e potencial elétrico.
O que vamos usar:
  1. Para a carga total, e a área diferencial .
  2. Para o potencial, a fórmula
aplicada a um ponto sobre o eixo do disco a distância .

Passo 2

Vamos achar a carga total dA = 2pi r,dr .
  1. A densidade superficial é Q = integral dQ = integrala^b sigma,(2pi r,dr) = 2pisigma integrala^b r,dr = 2pisigma [r^22]a^b = pisigmal(b^2 - a^2r) , então .
  2. Num anel de raio e espessura , a área diferencial é
  1. Integramos de até :

Passo 3

Agora o potencial dV = 14pivarepsilon0,dQraizr^2 + z1^2 = 14pivarepsilon0,sigma,(2pi r,dr)raizr^2 + z1^2 no ponto do eixo central a V(z1) = sigma2varepsilon0integrala^br,drraizr^2+z1^2 = sigma2varepsilon0l[raizr^2+z1^2r]a^b = sigma2varepsilon0l(raizb^2+z1^2-raiza^2+z1^2r) do centro:
  1. Cada pedacinho de área tem carga .
  2. A distância do elemento ao ponto é .
  3. Então
  1. Integramos de até :

Resposta

Carga total:
Q = pisigma,(b^2 - a^2)
Potencial no eixo a distância V(z1) = sigma2varepsilon0l(raizb^2+z1^2-raiza^2+z1^2r) :

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