Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}.
Para analisar a convergência, lembramos do teste da condição necessária: se uma série converge, então seu termo geral deve tender a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Aqui o termo geral é
a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}.
Vamos verificar
\lim_{n\to\infty}a_{n} \;=\;\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}=1, o termo geral não tende a zero, ele oscila entre valores próximos de \pm1.

Passo 3

Como a condição necessária de convergência \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 não se cumpre, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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