Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n+1}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado pede discutir a convergência ou divergência da série alternante \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+1}{\ln(n+1)}.
Para qualquer série \sum a_n a condição necessária de convergência é que \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Aqui o termo geral é
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n+1}{\ln(n+1)}.
Para a condição necessária, basta olhar o módulo:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\ln(n+1)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n} =\infty.
Como \frac{n+1}{\ln(n+1)} não tende a zero, falha a condição necessária de convergência.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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