Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{5 n-1}{4 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série alternante \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{5n-1}{4n+1}.
O principal critério que vamos usar é o teste do termo geral: se o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente, mesmo sendo alternante.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{5n-1}{4n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{5-\tfrac1n}{4+\tfrac1n} =\frac{5}{4}\neq0.

Passo 3

Como o termo geral \frac{5n-1}{4n+1} não tende a zero, a série falha na condição necessária de convergência. Portanto, mesmo alternando de sinal, ela diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge.

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