Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{\ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{\ln(n+1)}.
O conteúdo envolvido é o teste da divergência (termo geral) e, caso necessário, o teste de Leibniz para séries alternantes. Primeiro, vamos checar o comportamento do termo geral.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral
u_n = (-1)^{n}\,\frac{n}{\ln(n+1)}.
Observe que em módulo
|u_n| = \frac{n}{\ln(n+1)}.
Como \ln(n+1) cresce mais lentamente que n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln(n+1)} = \infty.
Em particular, |u_n|\not\to0, logo
\lim_{n\to\infty}u_n
não existe como zero. Pelo teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série não converge), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral \displaystyle(-1)^{n}\frac{n}{\ln(n+1)} não tende a zero.

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