Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{n^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n}{n^{2}+5}.
O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificaremos a convergência absoluta usando comparação com a série harmônica.

Passo 2

Defina
a_{n} = \frac{n}{n^{2}+5}.
Primeiro, verificamos que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+5} = 0,
pois o grau do denominador é maior que o do numerador.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos também que a_{n} seja monótona não crescente a partir de certo n. Considere a função contínua
f(x) = \frac{x}{x^{2}+5}.
Calculamos sua derivada:
f'(x) = \frac{(x^{2}+5) - x\cdot 2x}{(x^{2}+5)^{2}} = \frac{-x^{2}+5}{(x^{2}+5)^{2}}.
Observamos que f'(x)<0 sempre que x>\sqrt{5}\approx2,24. Logo, para n\ge3, a_{n}=f(n) é decrescente.

Passo 4

Como \{a_{n}\} satisfaz
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
  2. a_{n} é decrescente para n\ge3,
    o teste de Leibniz garante que a série alternante converge.

Passo 5

Verifiquemos agora a convergência absoluta. Considere
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|(-1)^{n+1}\frac{n}{n^{2}+5}\biggr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+5}.
Para n grande, \tfrac{n}{n^{2}+5}\sim\tfrac1n. Como a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
diverge, pela comparação (ou limite de comparação) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+5}
também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e diverge em valor absoluto.

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