Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1}.
O conteúdo envolvido é o critério de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta. Vamos verificar se ela converge (condicionalmente) e se converge absolutamente.

Passo 2

Para usar o critério de Leibniz, definimos
a_n = \frac{1}{n+1}.
Observamos que para todo n\ge1:
  1. a_n>0.
  2. a_{n+1} = \frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1} = a_n, ou seja, (a_n) é decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.
    Pelo critério de Leibniz, a série alternante \sum(-1)^{n+1}a_n converge.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1}\biggr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}.
Essa é, a menos de um índice, a série harmônica \sum1/n, que sabemos divergir. Logo, a série original não converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1} converge, mas condicionalmente (convergência pelo critério de Leibniz e divergência da série de termos absolutos).

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