Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado nos pede para discutir a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{3n+2}.
O primeiro teste que sempre vale a pena checar é o critério necessário de convergência, que diz que, se a série converge (seja condicional ou absolutamente), o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Analisamos o termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n}{3n+2}.
O módulo desse termo é
\frac{n}{3n+2}.
Calculando o limite desse módulo:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3+\frac{2}{n}} =\frac{1}{3}\neq0.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n não é zero (fica alternando entre aproximadamente \pm\frac13), a série não satisfaz o critério necessário de convergência. Portanto ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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