Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
a_{n}=\frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_{n} = \frac{n}{2^{n}},
e pede para discutirmos se ela é monótona, se é limitada e se converge ou diverge. Vamos usar conceitos de monotonicidade (teste da razão entre termos) e de limite de sequência para concluir.

Passo 2

Primeiro observamos que, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n} = \frac{n}{2^{n}} > 0.
Logo a sequência é limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Para ver uma cota superior, calculamos alguns termos iniciais:
a_{1} = \frac{1}{2}, \quad a_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Mostramos que a_{n}\le \tfrac12 para todo n\ge1. De fato, para n\ge2 temos
2^{n} \ge 2n \;\Longrightarrow\; \frac{n}{2^{n}} \le \frac{n}{2n} = \frac12.
Portanto a sequência é limitada superiormente por \tfrac12. Em suma,
0 < a_{n} \le \frac12,
logo \{a_{n}\} é limitada.

Passo 4

Para verificar monotonicidade, consideramos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^{n}}} = \frac{n+1}{2n}.
Note que, para n\ge1,
\frac{n+1}{2n} \le 1 \;\Longleftrightarrow\; n+1 \le 2n \;\Longleftrightarrow\; n \ge 1.
Logo a_{n+1}\le a_{n} a partir de n=1. Isso mostra que \{a_{n}\} é decrescente (a partir de n=1).

Passo 5

Uma sequência que é ao mesmo tempo limitada e monotonicamente decrescente converge. Para encontrar o limite, podemos usar o fato de que potências de 2 crescem mais rápido do que polinômios em n, ou notar que
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} = \frac12 < 1,
o que implica \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Formalmente, também podemos aplicar L’Hôpital ao quociente \tfrac{n}{2^{n}} visto como função contínua em x.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n}{2^{n}} é positiva, limitada (por 0 e \tfrac12), monotonicamente decrescente e converge.
O limite é
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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