Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
e pede para discutirmos se ela é monótona, se é limitada e se converge ou diverge. Vamos usar conceitos de monotonicidade (teste da razão entre termos) e de limite de sequência para concluir.
Passo 2
Primeiro observamos que, para todo
,
Logo a sequência é limitada inferiormente por
.
Passo 3
Para ver uma cota superior, calculamos alguns termos iniciais:
Mostramos que
para todo
. De fato, para
temos
Portanto a sequência é limitada superiormente por
. Em suma,
logo
é limitada.
Passo 4
Para verificar monotonicidade, consideramos a razão
Note que, para
,
Logo
a partir de
. Isso mostra que
é decrescente (a partir de
).
Passo 5
Uma sequência que é ao mesmo tempo limitada e monotonicamente decrescente converge. Para encontrar o limite, podemos usar o fato de que potências de
crescem mais rápido do que polinômios em
, ou notar que
o que implica
. Formalmente, também podemos aplicar L’Hôpital ao quociente
visto como função contínua em
.
Resposta
A sequência
é positiva, limitada (por
e
), monotonicamente decrescente e converge.
O limite é
O limite é