Quais das sequências ( a_{n} ) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=(-1)^{n}+\frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = (-1)^n + \frac{(-1)^n}{n},
e pergunta se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, qual é o limite.

Passo 2

Para entender o comportamento de a_n, fatoramos (-1)^n:
a_n = (-1)^n \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr).

Passo 3

Analisamos separadamente os dois casos n par e n ímpar, ou seja, as subsequências:
1. Se n=2k (par), então (-1)^{2k}=1 e
a_{2k} = 1\cdot\Bigl(1 + \frac{1}{2k}\Bigr) = 1 + \frac{1}{2k}\;\longrightarrow\;1 \quad\text{quando }k\to\infty.
2. Se n=2k+1 (ímpar), então (-1)^{2k+1}=-1 e
a_{2k+1} = -1\cdot\Bigl(1 + \frac{1}{2k+1}\Bigr) = -\Bigl(1 + \frac{1}{2k+1}\Bigr)\;\longrightarrow\;-1 \quad\text{quando }k\to\infty.

Passo 4

Como as duas subsequências têm limites diferentes 1 e -1, a sequência completa não pode ter um único limite. Pelo critério das subsequências, concluímos que a_n diverge.

Resposta

A sequência diverge (não existe limite).

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