Discuta o papel da constante de tempo na determinação da resposta de frequência do integrador, especialmente no seu comportamento como um filtro passa-baixas.

Passo 1

O enunciado pede para discutirmos como a constante de tempo \tau de um integrador influencia sua resposta em frequência e faz com que ele se comporte como um filtro passa-baixas de primeira ordem. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, função de transferência de um integrador prático e análise de módulo e fase para ver o papel de \tau.

Passo 2

Definimos a constante de tempo típica de um circuito RC como
\tau = R\,C
e a frequência de canto (ou de quebra) associada como
\omega_c = \frac{1}{\tau}\quad\text{(rad/s)}\quad\Longleftrightarrow\quad f_c = \frac{1}{2\pi \tau}\quad\text{(Hz)}.

Passo 3

Um integrador ideal teria função de transferência
H_{\rm ideal}(s) = \frac{1}{s\tau}
cujo módulo em regime senoidal s = j\omega é
\bigl|H_{\rm ideal}(j\omega)\bigr| = \frac{1}{\omega\,\tau},
ou seja, decai indefinidamente com -20\\ \text{dB/dec} e tem fase fixa de -90^\circ.

Passo 4

Na prática, para evitar ganho infinito em \omega\to0, insere-se um resistor em paralelo ao capacitor de realimentação, obtendo-se uma função de transferência de primeira ordem
H(s) = \frac{1}{1 + s\,\tau}.
Este é exatamente o modelo de um filtro passa-baixas de ordem 1 com ganho unitário em DC.

Passo 5

Analisando H(j\omega):
  • Para \omega \ll \omega_c, temos s\tau = j\,\omega\tau \approx 0 e
H(j\omega)\approx 1\quad\Longrightarrow\quad \text{ganho próximo de }0\\ \text{dB}.ó
  • Para \omega \gg \omega_c, temos \lvert s\tau\rvert \gg 1 e
H(j\omega)\approx \frac{1}{s\tau} = \frac{1}{j\,\omega\tau},
isto é, passa a se comportar como um integrador (ganho caindo a -20\\ \text{dB/dec} e fase -90^\circ).

Passo 6

Logo, a constante de tempo \tau determina exatamente a frequência de transição entre a região de ganho aproximadamente constante (passa-baixas “plana”) e a região de integração propriamente dita (decaimento a -20\\ \text{dB/dec}). Ao ajustar \tau, você desloca essa frequência de canto \omega_c=1/\tau:
  • \tau grande \Rightarrow \omega_c baixa \Rightarrow começa a integrar mais cedo (em baixas frequências).
  • \tau pequeno \Rightarrow \omega_c alta \Rightarrow mantém ganho plano até frequências mais elevadas.

Resposta

A constante de tempo \tau=RC fixa a frequência de canto \omega_c=1/\tau do integrador prático, fazendo com que, para \omega<\omega_c, o circuito tenha ganho quase constante (comportamento passa-baixas) e, para \omega>\omega_c, atue como integrador propriamente dito, exibindo decaimento de -20\\ \text{dB/dec} e fase de -90^\circ. Ajustar \tau é portanto a chave para posicionar a “quebra” entre a região de passagem e a região de integração do filtro.

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