Discuta os sistemas:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de duas equações lineares com parâmetro
O que o problema pede: discutir o sistema — isto é, determinar para quais valores de
e
.
Informações relevantes dadas: as duas equações e a presença do parâmetro
.]
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta rápida para sistemas
a matriz de coeficientes é
, a matriz é invertível e o sistema tem solução única.
- Se , os coeficientes são proporcionais e pode haver ou infinitas soluções (se os termos independentes forem proporcionais do mesmo modo) ou nenhuma (se houver contradição).
- Se
Aqui a matriz dos coeficientes é
. Calculamos o determinante
e veremos os casos.]
Passo 3
Calcule o determinante:
Portanto:
- se
, então e o sistema terá solução única; - se
, então e devemos verificar consistência (possibilidade de infinitas soluções ou nenhuma).
Agora vamos resolver explicitamente quando
, usando eliminação (método básico e direto).
Passo 4
Para
faço (primeira) − (segunda):
No lado esquerdo os termos
, podemos dividir por
e obter
Agora substituo esse
em
para achar
:
Faço uma única fração no segundo termo:
Alternativamente, multiplicando numerador e denominador por
, uma forma equivalente é
Portanto, para
a solução única é
Passo 5
Agora o caso
ou seja
Essas duas equações exigem simultaneamente que
e
, o que é impossível. Assim há contradição e o sistema não tem solução quando
. Geometricamente, são duas retas paralelas (mesma inclinação) com termos independentes diferentes — sem interseção.]
Passo 6
Resumo e interpretação didática rápida (um amigo explicando): se o determinante
não é zero, linhas não são paralelas e se cruzam num ponto (solução única, que achamos por eliminação). Se o determinante é zero (aqui
), as retas têm a mesma direção; então ou coincidem (infinitas soluções) ou são distintas (nenhuma solução). No nosso caso elas são distintas, logo nenhuma solução.
Resposta
Para
: solução única com
e
Para : o sistema não tem solução.
Para