Discuta os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}k x+y=1 \\\ x+y=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de duas equações lineares com parâmetro k\): \[\begin{cases} k x + y = 1\\[4pt] x + y = 2 \end{cases}
O que o problema pede: discutir o sistema — isto é, determinar para quais valores de k\] o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e quando houver solução dar os valores de \(x e y.
Informações relevantes dadas: as duas equações e a presença do parâmetro \,k.]

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta rápida para sistemas 2\times2\): o determinante da matriz dos coeficientes. Para um sistema \[\begin{cases} a x + b y = e\\[4pt] c x + d y = f \end{cases}
a matriz de coeficientes é \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\] e o determinante é \[\Delta = ad - bc.\] Interpretação prática: - Se \(\Delta \neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única.
- Se \Delta = 0, os coeficientes são proporcionais e pode haver ou infinitas soluções (se os termos independentes forem proporcionais do mesmo modo) ou nenhuma (se houver contradição).
Aqui a matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}k & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}. Calculamos o determinante \Delta e veremos os casos.]

Passo 3

Calcule o determinante:
\Delta = k\cdot 1 - 1\cdot 1 = k-1.
Portanto:
  • se \,k\neq 1, então \Delta\neq 0 e o sistema terá solução única;
  • se \,k=1, então \Delta=0 e devemos verificar consistência (possibilidade de infinitas soluções ou nenhuma).
Agora vamos resolver explicitamente quando \,k\neq 1, usando eliminação (método básico e direto).

Passo 4

Para \,k\neq 1\): subtraio a segunda equação da primeira para eliminar \(y\). Das equações \[\begin{cases} k x + y = 1\\[4pt] x + y = 2 \end{cases}
faço (primeira) − (segunda):
(kx+y) - (x+y) = 1 - 2.
No lado esquerdo os termos y\] cancelam, restando \[(k-1)x = -1.\] Como \(\,k\neq 1, podemos dividir por k-1 e obter
x = \frac{-1}{k-1} = \frac{1}{1-k}.
Agora substituo esse x em x+y=2 para achar y:
y = 2 - x = 2 - \frac{1}{1-k}.
Faço uma única fração no segundo termo:
y = \frac{2(1-k) - 1}{1-k} = \frac{2 - 2k - 1}{1-k} = \frac{1 - 2k}{1-k}.
Alternativamente, multiplicando numerador e denominador por -1, uma forma equivalente é
y = \frac{2k-1}{k-1}.
Portanto, para \,k\neq 1 a solução única é
x=\frac{1}{1-k},\qquad y=\frac{1-2k}{1-k}\quad\text{(ou }y=\frac{2k-1}{k-1}\text{)}.]

Passo 5

Agora o caso \,k=1\). Substituindo \(k=1\) nas equações obtemos \[\begin{cases} 1\cdot x + y = 1\\[4pt] x + y = 2 \end{cases}
ou seja
\begin{cases} x+y=1\\[4pt] x+y=2 \end{cases}
Essas duas equações exigem simultaneamente que x+y\] seja \(1 e 2, o que é impossível. Assim há contradição e o sistema não tem solução quando \,k=1. Geometricamente, são duas retas paralelas (mesma inclinação) com termos independentes diferentes — sem interseção.]

Passo 6

Resumo e interpretação didática rápida (um amigo explicando): se o determinante k-1 não é zero, linhas não são paralelas e se cruzam num ponto (solução única, que achamos por eliminação). Se o determinante é zero (aqui k=1), as retas têm a mesma direção; então ou coincidem (infinitas soluções) ou são distintas (nenhuma solução). No nosso caso elas são distintas, logo nenhuma solução.

Resposta

Para \,k\neq 1: solução única com \displaystyle x=\frac{1}{1-k} e \displaystyle y=\frac{1-2k}{1-k}.
Para \,k=1: o sistema não tem solução.

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