9 Discuta o teorema de Bohr-van Leeuwen e suas consequências.

Passo 1

O enunciado pede para discutir o teorema de Bohr-van Leeuwen e suas consequências, que faz parte da física estatística clássica aplicada ao magnetismo. Vamos precisar dos conceitos de partição canônica, magnetização em equilíbrio térmico e invariância de gauge na mecânica clássica.

Passo 2

O teorema de Bohr-van Leeuwen afirma que, em um sistema de partículas clássicas em equilíbrio térmico descrito pela estatística de Maxwell-Boltzmann sujeito a um campo magnético estático, a magnetização média é sempre zero. Em outras palavras, a estatística clássica não prevê nem diamagnetismo nem paramagnetismo.

Passo 3

A ideia da demonstração usa a partição canônica clássica. A energia de uma partícula de carga q e massa m num campo magnético B=nablatimes A aparece via momento canônico p - q A. No entanto, ao fazer uma mudança de variável na integral de fase-space, p' = p - q A( r), o jacobiano dessa transformação é unitário e a dependência em A desaparece do fator e^-beta H.

Passo 4

Como a partição canônica Z(beta, B) fica independente de B, a energia livre F=-kBTln Z também não depende de B. Logo, a magnetização média
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M = -(partial Fpartial B)T,V = 0,
ou seja, não há resposta magnética.

Passo 5

Um resultado direto é que nenhum fenômeno magnético (nem diamagnético, nem paramagnético) pode ser explicado por um modelo puramente clássico em equilíbrio térmico. Assim, a existência de materiais magnetizados, ou comportamentos magnéticos em gases, só pode ser justificada pela mecânica quântica.

Passo 6

As principais consequências práticas são: o diamagnetismo de Landau, o paramagnetismo de Pauli e a lei de Curie para momentos magnéticos localizados só surgem quando se leva em conta quantização de níveis de energia, spin eletrônico, e estatística de Fermi-Dirac ou Bose-Einstein. Fenômenos como ferromagnetismo e antiferromagnetismo dependem de intercâmbio quântico e não têm explicação na teoria clássica.

Passo 7

Em resumo, o teorema de Bohr-van Leeuwen mostra a necessidade de uma descrição quântica para todo tipo de magnetismo, o que motivou o desenvolvimento de modelos quânticos de momento angular, spin e troca de Heisenberg.

Resposta

O teorema de Bohr-van Leeuwen demonstra que, na estatística clássica, a magnetização em equilíbrio térmico é sempre nula, ou seja, não existe nem diamagnetismo nem paramagnetismo. A consequência fundamental é que todos os fenômenos magnéticos observados na natureza só podem ser explicados pela mecânica quântica, levando em conta a quantização dos níveis de energia, o spin dos elétrons e estatística de Fermi-Dirac ou Bose-Einstein.

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