9 Discuta o teorema de Bohr-van Leeuwen e suas consequências.
Passo 1
O enunciado pede para discutir o teorema de Bohr-van Leeuwen e suas consequências, que faz parte da física estatística clássica aplicada ao magnetismo. Vamos precisar dos conceitos de partição canônica, magnetização em equilíbrio térmico e invariância de gauge na mecânica clássica.
Passo 2
O teorema de Bohr-van Leeuwen afirma que, em um sistema de partículas clássicas em equilíbrio térmico descrito pela estatística de Maxwell-Boltzmann sujeito a um campo magnético estático, a magnetização média é sempre zero. Em outras palavras, a estatística clássica não prevê nem diamagnetismo nem paramagnetismo.
Passo 3
A ideia da demonstração usa a partição canônica clássica. A energia de uma partícula de carga
e massa
num campo magnético
aparece via momento canônico
. No entanto, ao fazer uma mudança de variável na integral de fase-space,
, o jacobiano dessa transformação é unitário e a dependência em
desaparece do fator
.
Passo 4
Como a partição canônica
fica independente de
, a energia livre
também não depende de
. Logo, a magnetização média
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ou seja, não há resposta magnética.
Passo 5
Um resultado direto é que nenhum fenômeno magnético (nem diamagnético, nem paramagnético) pode ser explicado por um modelo puramente clássico em equilíbrio térmico. Assim, a existência de materiais magnetizados, ou comportamentos magnéticos em gases, só pode ser justificada pela mecânica quântica.
Passo 6
As principais consequências práticas são: o diamagnetismo de Landau, o paramagnetismo de Pauli e a lei de Curie para momentos magnéticos localizados só surgem quando se leva em conta quantização de níveis de energia, spin eletrônico, e estatística de Fermi-Dirac ou Bose-Einstein. Fenômenos como ferromagnetismo e antiferromagnetismo dependem de intercâmbio quântico e não têm explicação na teoria clássica.
Passo 7
Em resumo, o teorema de Bohr-van Leeuwen mostra a necessidade de uma descrição quântica para todo tipo de magnetismo, o que motivou o desenvolvimento de modelos quânticos de momento angular, spin e troca de Heisenberg.
Resposta
O teorema de Bohr-van Leeuwen demonstra que, na estatística clássica, a magnetização em equilíbrio térmico é sempre nula, ou seja, não existe nem diamagnetismo nem paramagnetismo. A consequência fundamental é que todos os fenômenos magnéticos observados na natureza só podem ser explicados pela mecânica quântica, levando em conta a quantização dos níveis de energia, o spin dos elétrons e estatística de Fermi-Dirac ou Bose-Einstein.