8 Considere um meio cujos elementos primitivos (átomos ou moléculas) possuam momento de dipolo magnético de módulo mu e determine a função de magnetização e susceptibilidade de Langevin.

Passo 1

O enunciado pede para achar a magnetização M(H,T) de um conjunto de dipolos magnéticos de módulo µ no equilíbrio térmico sob campo externo H e, a partir daí, obter a susceptibilidade de Langevin. O conteúdo envolve estatística de Boltzmann, função de partição de um dipolo num campo e cálculo do valor médio de seu componente na direção do campo.

Passo 2

Para um único dipolo, a distribuição de energia é dada por E(θ)=−µH cosθ, onde θ é o ângulo entre o dipolo e o campo. A função de partição Z(β) é a integral sobre todas as orientações:
Z=integral e^betamu Hcostheta,dOmega=2piintegral0^pie^betamu Hcosthetasintheta,dtheta
Fazendo a substituição x=cosθ, obtemos
Z=2piintegral-1^1e^betamu H x,dx=2pibetamu Hl(e^betamu H-e^-betamu Hr)=4pisinh(betamu H)betamu H
Em que usamos β=1/(kT).

Passo 3

O valor médio do componente do dipolo na direção do campo é
lang<=muzrang<==1Zintegral mucostheta;e^betamu Hcostheta,dOmega=mul(coth(alpha)-1alphar)
com alpha=betamu H=mu HkT. Então a magnetização do meio, com N dipolos por volume, é
M=Nlang<=muzrang<==Nmu,L(alpha)
onde definimos a função de Langevin
L(alpha)=coth(alpha)-1alpha

Passo 4

A susceptibilidade magnética de Langevin χ é definida como
chi=(partial Mpartial H)Hto0
Para H pequeno, α≪1 usamos a expansão de L(α)≈α/3, logo M≈Nµ(α/3)=Nµ^2H/(3kT). Assim
chi=Nmu^23kT

Resposta

Magnetização de Langevin: M=Nmu,Ll(tfracmu HkTr) com L(x)=coth(x)-1/x. Susceptibilidade: chi=dfracNmu^23kT

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