8 Considere um meio cujos elementos primitivos (átomos ou moléculas) possuam momento de dipolo magnético de módulo
e determine a função de magnetização e susceptibilidade de Langevin.
Passo 1
O enunciado pede para achar a magnetização M(H,T) de um conjunto de dipolos magnéticos de módulo µ no equilíbrio térmico sob campo externo H e, a partir daí, obter a susceptibilidade de Langevin. O conteúdo envolve estatística de Boltzmann, função de partição de um dipolo num campo e cálculo do valor médio de seu componente na direção do campo.
Passo 2
Para um único dipolo, a distribuição de energia é dada por E(θ)=−µH cosθ, onde θ é o ângulo entre o dipolo e o campo. A função de partição Z(β) é a integral sobre todas as orientações:
Fazendo a substituição x=cosθ, obtemos
Em que usamos β=1/(kT).
Passo 3
O valor médio do componente do dipolo na direção do campo é
com
. Então a magnetização do meio, com N dipolos por volume, é
onde definimos a função de Langevin
Passo 4
A susceptibilidade magnética de Langevin χ é definida como
Para H pequeno, α≪1 usamos a expansão de L(α)≈α/3, logo M≈Nµ(α/3)=Nµ^2H/(3kT). Assim
Resposta
Magnetização de Langevin:
com
. Susceptibilidade: