10 Formulação Lagrangiana: considerando-se a integral de ação,
onde
é uma coordenada e
é denominada função lagrangiana do sistema, obtenha a equação de Euler-Lagrange pela extremização da ação, ou seja, fazendo a variação
. Em um sistema de partículas clássicas
, sendo
a energia cinética e
a energia potencial da partícula. Mostre que para uma partícula não-relativística a equação de Euler-Lagrange corresponde à segunda lei de Newton.
Passo 1
O enunciado pede para obter a equação de Euler–Lagrange a partir do princípio de ação estacionária, aplicando cálculo de variações à integral de ação
. Depois, devemos mostrar que, para uma partícula não-relativística com
, essa equação é equivalente à segunda lei de Newton.
Passo 2
Escrevemos a variação da ação: seja
mantendo
. Então
Integramos por partes o termo com
Como
, o termo de contorno some, sobrando
Para extremizar a ação precisamos de
que é precisamente a equação de Euler–Lagrange.
Passo 3
Agora, para uma partícula não-relativística em uma dimensão tomamos
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtém-se
que nada mais é do que a segunda lei de Newton
Resposta
A equação de Euler–Lagrange é
Para
isso dá
o que coincide com a segunda lei de Newton.