10 Formulação Lagrangiana: considerando-se a integral de ação,
A=integral L(q, dotq) d t
onde q é uma coordenada e dotq equiv d q / d t, L(q, dotq) é denominada função lagrangiana do sistema, obtenha a equação de Euler-Lagrange pela extremização da ação, ou seja, fazendo a variação de. Em um sistema de partículas clássicas L=E-U, sendo E a energia cinética e U a energia potencial da partícula. Mostre que para uma partícula não-relativística a equação de Euler-Lagrange corresponde à segunda lei de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para obter a equação de Euler–Lagrange a partir do princípio de ação estacionária, aplicando cálculo de variações à integral de ação A=integral L(q,dot q),dt. Depois, devemos mostrar que, para uma partícula não-relativística com L=E-U, essa equação é equivalente à segunda lei de Newton.

Passo 2

Escrevemos a variação da ação: seja q(t)mapsto q(t)+de mantendo de. Então
de
Integramos por partes o termo com de:
integralt1^t2partial Lpartial dot q,de
Como de, o termo de contorno some, sobrando
de
Para extremizar a ação precisamos de de para todo de. Isso leva à condição fundamental
ddtpartial Lpartial dot q-partial Lpartial q=0,
que é precisamente a equação de Euler–Lagrange.

Passo 3

Agora, para uma partícula não-relativística em uma dimensão tomamos
L=E-U=tfrac12mdot q^2-U(q)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Lpartial dot q=mdot q,partial Lpartial q=-dUdq

Passo 5

Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtém-se
ddt(mdot q)+dUdq=0Longrightarrow mddot q=-dUdq,
que nada mais é do que a segunda lei de Newton F=m a com F=-dU/dq.

Resposta

A equação de Euler–Lagrange é
ddtpartial Lpartial dot q-partial Lpartial q=0
Para L=tfrac12mdot q^2-U(q) isso dá
mddot q=-dUdq,
o que coincide com a segunda lei de Newton.

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