Discuta a veracidade das seguintes afirmações. Considere, em todos os casos, amostragem aleatória simples.
a) Uma característica populacional, embora desconhecida, é uma quantidade fixa. Seu intervalo de confiança, entretanto, varia de amostra para amostra.
b) Quanto maior o coeficiente de confiança, maior é o comprimento do correspondente intervalo.
c) Com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a veracidade de três afirmações sobre intervalos de confiança em amostragem aleatória simples. O conteúdo aqui é inferência estatística, especificamente propriedades de intervalos de confiança para uma característica populacional (por exemplo, a média). Vamos usar o significado de parâmetro fixo, o efeito do nível de confiança sobre o comprimento do intervalo e a relação entre tamanho da amostra e precisão (comprimento do intervalo).

Passo 2

Avaliação da afirmação (a): “Uma característica populacional, embora desconhecida, é uma quantidade fixa. Seu intervalo de confiança, entretanto, varia de amostra para amostra.”
Um parâmetro populacional (por exemplo, a média \mu) é de fato um valor fixo, mas desconhecido. Já o intervalo de confiança é construído a partir dos dados da amostra, que mudam a cada amostragem, de modo que seus limites variam de amostra para amostra. Logo, a afirmação (a) está correta.

Passo 3

Avaliação da afirmação (b): “Quanto maior o coeficiente de confiança, maior é o comprimento do correspondente intervalo.”
O coeficiente de confiança (por exemplo, 90 %, 95 % ou 99 %) está diretamente relacionado ao quantil crítico z^* ou t^*. Se aumentamos o nível de confiança, usamos um quantil maior e portanto o termo de margem de erro cresce, alargando o intervalo. Assim, a afirmação (b) também está correta.

Passo 4

Avaliação da afirmação (c): “Com um nível de confiança fixo, para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra.”
Para muitos intervalos (como o da média), o comprimento é proporcional a 1/\sqrt{n}. Se dobramos n, o fator de redução é
\frac{1}{\sqrt{2n}}\Big/\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,707,
ou seja, o intervalo fica cerca de 70 % do original, não 50 %. Para reduzir o comprimento à metade seria preciso quadruplicar o tamanho da amostra ( 1/\sqrt{4}=1/2). Logo, a afirmação (c) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa

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