Num estudo visando analisar o estado nutricional de crianças numa certa região foram estudadas 100 crianças de 7 anos matriculadas em escolas públicas. Observou-se um peso médio de 30 kg e um desvio padrão de 3 kg .
a) Construa um intervalo com 95 \% de confiança para a média populacional.
b) Quais suposições são necessárias com respeito ao método de amostragem e a população para a validade do intervalo anterior?
c) Suponha que uma nova criança será observada futuramente. Discuta a diferença entre as seguintes afirmações: (i) "estima-se que o peso da criança será, em média, de 30 kg " e (ii) “estima-se que o peso da criança será 30 kg”. Forneça estimativas de erro associadas a cada uma das afirmações.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de n=100 crianças de 7 anos com peso médio \bar x=30 kg e desvio-padrão amostral s=3 kg. Pede-se:
a) calcular o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu;
b) expor as suposições necessárias para a validade desse intervalo;
c) distinguir entre estimar a média de futuros pesos e prever o peso de uma única criança, fornecendo as margens de erro de cada caso.

Passo 2

Para o intervalo de confiança de 95\% para \mu usamos a distribuição t com n-1=99 graus de liberdade e \alpha=0,05. O valor crítico é
t_{0,975;99}\approx1,984.
O erro-padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3}{10}=0,3\\ \text{kg},
logo a margem de erro fica
E = t_{0,975;99}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} =1,984\times0,3\approx0,595\\ \text{kg}.
Portanto
IC_{95\%}:\quad \bigl[\,30 - 0,595;\;30 + 0,595\bigr] =\bigl[29,405;\;30,595\bigr]\\ \text{kg}.

Passo 3

As suposições para a validade do intervalo são:
  • amostragem aleatória simples, garantindo observações independentes;
  • população com distribuição aproximadamente normal (ou n grande para valer o TCL);
  • o desvio-padrão amostral s é uma boa estimativa de \sigma.

Passo 4

(i) “Estimamos que o peso da criança será, em média, de 30 kg” refere-se à média populacional \mu. O erro associado é a margem de erro do IC para \mu, isto é, \pm0,595 kg.
(ii) “Estimamos que o peso da criança será 30 kg” é uma previsão de um único valor futuro X_{\text{new}}. Para prever um dígito usamos o intervalo de predição com margem
E_{\text{pred}} = t_{0,975;99}\times s\sqrt{1+\frac1n} =1,984\times3\times\sqrt{1,01} \approx5,98\\ \text{kg}.
Logo o erro para previsão individual é \pm5,98 kg, muito maior que o erro para a média.

Resposta

a) \displaystyle IC_{95\%}(\mu) = [29,405;\;30,595] kg.
b) Suposições: amostragem aleatória simples e independência; população aproximadamente normal (ou n grande); s é boa estimativa de \sigma.
c)
\bullet Para a média ( \mu): erro \pm0,595 kg.
\bullet Para previsão de um único peso ( X_{\text{new}}): erro \pm5,98 kg.

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