Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, sem atrito
x^{\prime \prime}+\alpha^{2} x=\beta \operatorname{sen}(\omega t)

Passo 1

O enunciado trata da equação de um oscilador harmônico forçado, sem amortecimento, dado por
x'' + \alpha^2 x = \beta \sin(\omega t).
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento periódico. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) obter uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados e (3) discutir os dois casos críticos: \omega \neq \alpha e \omega = \alpha.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
x'' + \alpha^2 x = 0.
A equação característica é r^2 + \alpha^2 = 0, com raízes r = \pm i\alpha. Logo, a solução geral da homogênea é
x_h(t) = A\cos(\alpha t) + B\sin(\alpha t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Para \omega \neq \alpha, buscamos uma solução particular da forma
x_p(t) = C\sin(\omega t).
Substituindo em x'' + \alpha^2 x = \beta\sin(\omega t) temos
-\omega^2\,C\sin(\omega t) + \alpha^2\,C\sin(\omega t) = \beta\sin(\omega t),
ou seja
C\,(\alpha^2 - \omega^2) = \beta \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{\beta}{\alpha^2 - \omega^2}.
Logo
x_p(t) = \frac{\beta}{\alpha^2 - \omega^2}\,\sin(\omega t).

Passo 4

A solução geral quando \omega \neq \alpha é
x(t) = A\cos(\alpha t) + B\sin(\alpha t) + \frac{\beta}{\alpha^2 - \omega^2}\,\sin(\omega t).
Esse resultado mostra dois movimentos superpostos: um com frequência natural \alpha (oscilação livre) e outro com frequência de forçamento \omega. Se \omega for próximo de \alpha, os dois termos interferem produzindo batimentos (beats), isto é, uma modulação da amplitude com frequência |\alpha - \omega|.

Passo 5

No caso de ressonância \omega = \alpha, a forma C\sin(\alpha t) falha, pois o lado direito coincide com a homogênea. Então usamos o ansatz
x_p(t) = t\bigl(D\cos(\alpha t) + E\sin(\alpha t)\bigr).
Substituindo e igualando coeficientes, encontra-se
x_p(t) = -\frac{\beta}{2\alpha}\,t\cos(\alpha t).
A solução geral ressonante é
x(t) = A\cos(\alpha t) + B\sin(\alpha t) - \frac{\beta}{2\alpha}\,t\cos(\alpha t),
cuja amplitude cresce linearmente em t, levando a oscilações de amplitude não limitada.

Passo 6

Interpretando fisicamente, temos uma massa presa a uma mola sem atrito, sujeita a uma força externa periódica \beta\sin(\omega t).
  • Para \omega\neq\alpha, a massa oscila com sua frequência natural e com a frequência de forçamento, gerando batimentos se \omega estiver perto de \alpha.
  • Em \omega=\alpha ocorre ressonância: sem amortecimento, a energia fornecida pela força externa acumula-se, fazendo a amplitude crescer sem limite.

Resposta

Quando \omega\neq\alpha, a solução é
x(t)=A\cos(\alpha t)+B\sin(\alpha t)+\frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\sin(\omega t),
mostrando batimentos se \omega\approx\alpha.
Em \omega=\alpha (ressonância), a solução inclui
-\frac{\beta}{2\alpha}\,t\cos(\alpha t),
e a amplitude cresce indefinidamente, caracterizando ressonância sem amortecimento.

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