O enunciado trata da equação diferencial linear não amortecida com forçamento periódico
x'' + \alpha^2 x = \beta \sin(\omega t),
que modela um sistema massa-mola sem atrito submetido a uma força externa F(t)=\beta\sin(\omega t). Para resolver vamos usar teoria de equações lineares de segunda ordem: primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o termo forçado.
Passo 2
A parte homogênea é
x'' + \alpha^2 x = 0,
cuja solução geral é
x_h(t)=C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t),
com C_1,C_2 determinados pelas condições iniciais. Esse termo representa as oscilações naturais do sistema, de frequência própria \alpha.
Passo 3
Para \omega\neq\alpha buscamos uma solução particular da forma
x_p(t)=K\sin(\omega t).
Substituindo em x''+\alpha^2 x=\beta\sin(\omega t) obtemos
a “transiente” C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t), que em presença de atrito decairia mas aqui persiste;
o regime forçado \frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\sin(\omega t), de frequência \omega.
Se \omega estiver perto de \alpha surge fenômeno de batimento (modulação de amplitude com frequência |\omega-\alpha|).
Passo 5
No caso de ressonância \omega=\alpha a expressão anterior diverge. Precisamos de outro ansatz:
Nesse caso a amplitude cresce linearmente em t, caracterizando ressonância não amortecida.
Passo 6
Interpretação física:
Sem atrito, a energia injetada pela força periódica não é dissipada.
Para \omega\neq\alpha, o sistema oscila com sua frequência natural e com a frequência de forçamento, exibindo batimentos caso as frequências sejam próximas.
Em \omega=\alpha (ressonância) a resposta cresce sem limite, pois cada impulso da força fica em fase com a oscilação natural, acumulando energia continuamente.
Fisicamente, sem atrito, há transientes persistentes e, no regime forçado, oscilações de amplitude finita para \omega\neq\alpha (com batimentos se \omega\approx\alpha) e crescimento ilimitado de amplitude em ressonância \omega=\alpha.]