Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
Equação da mola com segundo membro periódico, sem atrito
x^{\prime \prime}+\alpha^{2} x=\beta \operatorname{sen}(\omega t)

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear não amortecida com forçamento periódico
x'' + \alpha^2 x = \beta \sin(\omega t),
que modela um sistema massa-mola sem atrito submetido a uma força externa F(t)=\beta\sin(\omega t). Para resolver vamos usar teoria de equações lineares de segunda ordem: primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o termo forçado.

Passo 2

A parte homogênea é
x'' + \alpha^2 x = 0,
cuja solução geral é
x_h(t)=C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t),
com C_1,C_2 determinados pelas condições iniciais. Esse termo representa as oscilações naturais do sistema, de frequência própria \alpha.

Passo 3

Para \omega\neq\alpha buscamos uma solução particular da forma
x_p(t)=K\sin(\omega t).
Substituindo em x''+\alpha^2 x=\beta\sin(\omega t) obtemos
(-K\omega^2 +K\alpha^2)\sin(\omega t)=\beta\sin(\omega t),
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K=\frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2},
e
x_p(t)=\frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\,\sin(\omega t).

Passo 4

A solução geral para \omega\neq\alpha é
x(t)=C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t) +\frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\,\sin(\omega t).
Fisicamente há duas partes:
  • a “transiente” C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t), que em presença de atrito decairia mas aqui persiste;
  • o regime forçado \frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\sin(\omega t), de frequência \omega.
    Se \omega estiver perto de \alpha surge fenômeno de batimento (modulação de amplitude com frequência |\omega-\alpha|).

Passo 5

No caso de ressonância \omega=\alpha a expressão anterior diverge. Precisamos de outro ansatz:
x_p(t)=D\,t\cos(\alpha t).
Calculando x_p''+\alpha^2 x_p obtemos
-2D\alpha\sin(\alpha t)=\beta\sin(\alpha t)\quad\Longrightarrow\quad D=-\frac{\beta}{2\alpha},
e assim
x_p(t)=-\frac{\beta}{2\alpha}\;t\cos(\alpha t).
Nesse caso a amplitude cresce linearmente em t, caracterizando ressonância não amortecida.

Passo 6

Interpretação física:
  • Sem atrito, a energia injetada pela força periódica não é dissipada.
  • Para \omega\neq\alpha, o sistema oscila com sua frequência natural e com a frequência de forçamento, exibindo batimentos caso as frequências sejam próximas.
  • Em \omega=\alpha (ressonância) a resposta cresce sem limite, pois cada impulso da força fica em fase com a oscilação natural, acumulando energia continuamente.

Resposta

O comportamento das soluções é:
x(t)= \begin{cases} C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t)+\displaystyle \frac{\beta}{\alpha^2-\omega^2}\sin(\omega t), & \omega\neq\alpha,\\[1em] C_1\cos(\alpha t)+C_2\sin(\alpha t)-\displaystyle \frac{\beta}{2\alpha}\,t\cos(\alpha t), & \omega=\alpha. \end{cases}
Fisicamente, sem atrito, há transientes persistentes e, no regime forçado, oscilações de amplitude finita para \omega\neq\alpha (com batimentos se \omega\approx\alpha) e crescimento ilimitado de amplitude em ressonância \omega=\alpha.]

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