Discutir o sistema: \left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=0 \\\\ -2 x+y+4 z=1 \\\\ 3 x+2 y-6 z=-1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que o discutamos (isto é: verificar se é possível resolver, e em caso afirmativo encontrar as soluções; caso contrário, concluir que não há solução):
\begin{cases} x+y-2z=0,\\[4pt] -2x+y+4z=1,\\[4pt] 3x+2y-6z=-1. \end{cases}
Informações fornecidas:
  • São três equações lineares em três incógnitas x, y, z.
  • Quer-se determinar se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução) e, se compatível, achar a(s) solução(ões).]

Passo 2

Escolha do método e conceitos necessários (explicação curta e prática).
  • Método escolhido: eliminação por matriz aumentada (eliminação de Gauss). Razão: é o método padrão para discutir sistemas, fácil de aplicar à mão e permite ver claramente se surge uma contradição.
  • O que são operações elementares sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema.
  • Teorema prático (Rouché–Capelli) usado para decidir compatibilidade:
    • Seja A a matriz dos coeficientes e [A\mid b] a matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes).
    • O sistema é compatível se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]).
    • Se essa igualdade vale e é igual ao número de incógnitas, a solução é única; se vale e é menor que o número de incógnitas há infinitas soluções.
      Vou aplicar a eliminação e comparar as fileiras finais para identificar possíveis contradições e então usar Rouché–Capelli.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e o vetor independente do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -6 & -1 \end{array}\right].
Denoto as linhas por R_1,R_2,R_3 correspondendo às equações 1, 2 e 3.]

Passo 4

Eliminação do termo em x nas linhas R_2 e R_3 usando R_1 como pivô:
  • Operação: R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Cálculo componente a componente:
    • Primeira coluna: -2 + 2\cdot 1 = 0.
    • Segunda coluna: 1 + 2\cdot 1 = 3.
    • Terceira coluna: 4 + 2\cdot(-2) = 4 - 4 = 0.
    • Coluna dos termos independentes: 1 + 2\cdot 0 = 1.
      Logo R_2 torna-se [0\\\ 3\\\ 0\mid 1].
  • Operação: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculo:
    • Primeira coluna: 3 - 3\cdot 1 = 0.
    • Segunda coluna: 2 - 3\cdot 1 = -1.
    • Terceira coluna: -6 - 3\cdot(-2) = -6 + 6 = 0.
    • Termo independente: -1 - 3\cdot 0 = -1.
      Logo R_3 torna-se [0\\\ -1\\\ 0\mid -1].
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Continuar a eliminação na segunda coluna para zerar o elemento da linha R_3 na segunda coluna.
Para evitar frações faço uma combinação inteira: multiplico R_3 por 3 e somo R_2:
  • 3R_3 = [0\\\ -3\\\ 0\mid -3].
  • 3R_3 + R_2 = [0\\\ 0\\\ 0\mid -3 + 1] = [0\\\ 0\\\ 0\mid -2].
Aplicando essa combinação (equivalente a operações elementares), a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da linha obtida e conclusão imediata:
  • A terceira linha agora representa a equação 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -2, ou seja, a igualdade 0 = -2.
  • Essa igualdade é impossível, é uma contradição. Logo o sistema não pode ter solução alguma: é incompatível.

Passo 7

Aplicação do critério de Rouché–Capelli para confirmar a conclusão:
  • A parte de coeficientes transformada tem duas linhas não-nulas (as duas primeiras), a terceira linha é nula; portanto \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz aumentada tem uma linha não-nula adicional [0\\\ 0\\\ 0\mid -2], logo \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
  • Como \operatorname{rank}(A)=2 \neq 3=\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é incompatível (sem solução), de acordo com Rouché–Capelli.

Resposta

O sistema é incompatível; não possui solução.

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