Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{c}x+y+z+t+w=1 \\\ x+z+t+w=2 \\\ x+y+t+w=3 \\\ x+y+z+w=4 \\\ x+y+z+t=5\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que se pede.
As equações são:
\begin{cases} x+y+z+t+w=1,\\[4pt] x+z+t+w=2,\\[4pt] x+y+t+w=3,\\[4pt] x+y+z+w=4,\\[4pt] x+y+z+t=5. \end{cases}
O que se pede: determinar os valores das incógnitas \,x,y,z,t,w\, que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Informações relevantes que temos:
  • Cada equação é uma soma de quatro ou cinco das variáveis (a primeira tem todas as cinco; as demais omitem cada uma, uma por vez).
  • Não há outras condições além das equações acima.]

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): observar que as quatro últimas equações são iguais à primeira, exceto por terem faltando uma variável cada uma. Isso sugere usar subtração entre equações para isolar rapidamente cada variável.
Por que subtrair funciona? Se tiver duas equações
A:\;x+y+z+t+w=a \qquad\text{e}\qquad B:\;x+z+t+w=b,
então fazendo A-B cancela todos os termos iguais em ambos os lados (aqui \,x+z+t+w\,) e sobra \,y=a-b. Em outras palavras, subtrair uma equação da outra elimina as partes comuns e isola a parte que difere.
Essa é uma técnica básica de eliminação: combinar equações (somando ou subtraindo) para obter equações com menos incógnitas até conseguir resolver uma a uma.

Passo 3

Aplicar a ideia ao sistema: subtrair a segunda equação da primeira para isolar \,y.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+z+t+w)=1-2.
No lado esquerdo os termos x,z,t,w cancelam e sobra y. No direito sobra 1-2.
Portanto
y = 1-2 = -1.

Passo 4

Subtrair a terceira equação da primeira para isolar \,z.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+t+w)=1-3.
No lado esquerdo sobra z. No direito fica 1-3.
Portanto
z = 1-3 = -2.

Passo 5

Subtrair a quarta equação da primeira para isolar \,t.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+z+w)=1-4.
No lado esquerdo sobra t. No direito fica 1-4.
Portanto
t = 1-4 = -3.

Passo 6

Subtrair a quinta equação da primeira para isolar \,w.
Calcular:
(x+y+z+t+w)-(x+y+z+t)=1-5.
No lado esquerdo sobra w. No direito fica 1-5.
Portanto
w = 1-5 = -4.

Passo 7

Agora que temos \,y,z,t,w, encontramos \,x substituindo esses valores em qualquer uma das equações originais — a primeira é a mais direta.
Substituir em \,x+y+z+t+w=1:
x + (-1) + (-2) + (-3) + (-4) = 1.
Somando os termos constantes: (-1)+(-2)+(-3)+(-4)=-10. Assim
x-10=1.
Portanto
x = 1+10 = 11.

Passo 8

Verificação rápida em todas as equações para garantir consistência:
  • Primeira: 11+(-1)+(-2)+(-3)+(-4)=11-10=1 OK.
  • Segunda: 11+(-2)+(-3)+(-4)=11-9=2 OK.
  • Terceira: 11+(-1)+(-3)+(-4)=11-8=3 OK.
  • Quarta: 11+(-1)+(-2)+(-4)=11-7=4 OK.
  • Quinta: 11+(-1)+(-2)+(-3)=11-6=5 OK.
Todas as equações são satisfeitas, logo a solução está correta e é única.

Resposta

x=11
y=-1
z=-2
t=-3
w=-4

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