A distância interplanar d_{422} num elemento com estrutura cristalina CCC é 0.083397 nm. O raio atômico do elemento é aproximadamente:
\mathbf{A}-0,40856 \mathrm{~nm} \quad \mathbf{B}-0,17691 \mathrm{~nm}
Solução:
d_{422}=\frac{a_{0}}{\sqrt{4^{2}+2^{2}+2^{2}}} \therefore a_{0}=d_{422} \sqrt{4^{2}+2^{2}+2^{2}}=(0.083397 \mathrm{~nm}) \cdot \sqrt{24} \cong 0,40856 \mathrm{~nm}
\sqrt{3} a_{0}=4 r \therefore r=\frac{\sqrt{3} a_{0}}{4}=\frac{\sqrt{3} \cdot 0,40856}{4} \cong 0.17691 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o raio atômico do elemento, dado que a distância interplanar \,d_{422}\, é 0,083397\\ \mathrm{nm} e a estrutura cristalina é CCC (cúbica de corpo centrado).
Informações relevantes fornecidas:
d_{422}=0,083397\\ \mathrm{nm}
Há duas alternativas apresentadas:
\mathbf{A}\,-\,0,40856\\ \mathrm{nm}\qquad\mathbf{B}\,-\,0,17691\\ \mathrm{nm}

Passo 2

Entendendo a fórmula para a distância interplanar em redes cúbicas: para um plano cristalográfico com índices de Miller (h,k,l) numa célula cúbica, a distância interplanar é dada por
d_{hkl}=\frac{a_{0}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}
Explicando cada termo:
  • \,d_{hkl}\, é a distância entre planos paralelos de família (hkl).
  • \,a_{0}\, é a constante de rede (aresta do cubo).
  • \,h,k,l são os índices de Miller do plano; aqui (h,k,l)=(4,2,2).
    A ideia é geométrica: em uma célula cúbica, a separação entre planos depende de quão “inclinados” eles são, e isso aparece como \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} no denominador.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (4,2,2): primeiro calculemos \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}.
h^{2}+k^{2}+l^{2}=4^{2}+2^{2}+2^{2}=16+4+4=24
\sqrt{24}\approx 4,898979486
Isolando a_{0} da fórmula d_{422}=\dfrac{a_{0}}{\sqrt{24}}, temos
a_{0}=d_{422}\sqrt{24}
Substituindo o valor dado de \,d_{422}\,:
a_{0}=(0,083397)\cdot\sqrt{24}=(0,083397)\cdot 4,898979486\approx 0,40856\\ \mathrm{nm}
Comentário amigável: portanto a aresta da célula cúbica é aproximadamente \,0,40856\\ \mathrm{nm}\,. Isso corresponde exatamente ao valor da alternativa \mathbf{A}, mas ainda não é o raio atômico.

Passo 4

Agora precisamos relacionar a_{0} com o raio atômico r para a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado). Geometria física:
  • Na rede BCC/CCC há um átomo no centro do cubo e átomos nos oito cantos.
  • Os átomos nos cantos e o átomo central tocam-se ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo), e ao longo dessa diagonal cabem quatro raios atômicos consecutivos (do centro de um átomo de canto até o átomo central e até o canto oposto).
  • A diagonal espacial do cubo tem comprimento \sqrt{3}\,a_{0}.
    Portanto a relação é
\sqrt{3}\,a_{0}=4r
Isolando r:
r=\frac{\sqrt{3}\,a_{0}}{4}
Explicando: \sqrt{3}\,a_{0} é a distância entre cantos opostos do cubo; dividir por 4 dá o raio porque são quatro raios alinhados nessa diagonal.

Passo 5

Substituindo a_{0}\approx 0,40856\\ \mathrm{nm} na fórmula de r:
r=\frac{\sqrt{3}\cdot 0,40856}{4}
Calculemos passo a passo:
\sqrt{3}\approx 1,732050808
\sqrt{3}\cdot 0,40856 \approx 1,732050808\cdot 0,40856 \approx 0,1769075\cdot 4 \quad\text{(mostrando a relação com a divisão por 4 em seguida)}çãã
Dividindo por 4:
r\approx \frac{0,708?}{4}\approx 0,17691\\ \mathrm{nm}
(Procedimento numérico completo: 1,732050808\times 0,40856\approx 0,70763, e 0,70763/4\approx 0,1769075, arredondando \approx 0,17691\\ \mathrm{nm}.)

Passo 6

Interpretação final e checagem: calculamos a_{0}\approx 0,40856\\ \mathrm{nm} e, usando a geometria CCC (BCC), obtivemos r\approx 0,17691\\ \mathrm{nm}. A pergunta original pede o raio atômico, logo a alternativa correta é a que corresponde a r.

Resposta

\mathbf{B}\,-\,0,17691\\ \mathrm{nm}

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