A distância interplanar
num elemento com estrutura cristalina CCC é 0.083397 nm. O raio atômico do elemento é aproximadamente:
Solução:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o raio atômico do elemento, dado que a distância interplanar
é
e a estrutura cristalina é CCC (cúbica de corpo centrado).
Informações relevantes fornecidas:
Há duas alternativas apresentadas:
Passo 2
Entendendo a fórmula para a distância interplanar em redes cúbicas: para um plano cristalográfico com índices de Miller
numa célula cúbica, a distância interplanar é dada por
Explicando cada termo:
-
é a distância entre planos paralelos de família . -
é a constante de rede (aresta do cubo). -
são os índices de Miller do plano; aqui .
A ideia é geométrica: em uma célula cúbica, a separação entre planos depende de quão “inclinados” eles são, e isso aparece comono denominador.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
: primeiro calculemos
.
Isolando
da fórmula
, temos
Substituindo o valor dado de
:
Comentário amigável: portanto a aresta da célula cúbica é aproximadamente
. Isso corresponde exatamente ao valor da alternativa
, mas ainda não é o raio atômico.
Passo 4
Agora precisamos relacionar
com o raio atômico
para a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado). Geometria física:
- Na rede BCC/CCC há um átomo no centro do cubo e átomos nos oito cantos.
- Os átomos nos cantos e o átomo central tocam-se ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo), e ao longo dessa diagonal cabem quatro raios atômicos consecutivos (do centro de um átomo de canto até o átomo central e até o canto oposto).
- A diagonal espacial do cubo tem comprimento
.
Portanto a relação é
Isolando
:
Explicando:
é a distância entre cantos opostos do cubo; dividir por
dá o raio porque são quatro raios alinhados nessa diagonal.
Passo 5
Substituindo
na fórmula de
:
Calculemos passo a passo:
Dividindo por
:
(Procedimento numérico completo:
, e
, arredondando
.)
Passo 6
Interpretação final e checagem: calculamos
e, usando a geometria CCC (BCC), obtivemos
. A pergunta original pede o raio atômico, logo a alternativa correta é a que corresponde a
.