Em uma distribuição normal, aproximadamente quantos valores estão a menos de um desvio padrão da média?

Passo 1

O enunciado pergunta qual a fração dos valores de uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma que cai dentro de um intervalo de um desvio padrão em torno da média, ou seja, \mu\pm\sigma. O conteúdo aqui é probabilidade em distribuição normal e vamos usar a padronização para a distribuição normal padrão e consultar a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Padronizamos X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que segue a distribuição normal padrão N(0,1). Então
P\bigl(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma\bigr) = P\bigl(-1 < Z < 1\bigr).

Passo 3

Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z). Sabemos que
\Phi(1)\approx0,8413 \quad\text{e}\quad \Phi(-1)=1-\Phi(1)\approx0,1587.
Logo,
P(-1<Z<1) =\Phi(1)-\Phi(-1) =0,8413 - 0,1587 =0,6826.

Passo 4

Convertendo para porcentagem, 0,6826 equivale a aproximadamente 68{,}26\%. Por convenção, arredonda-se para cerca de 68\%.

Resposta

Aproximadamente 68\% dos valores estão a menos de um desvio padrão da média.

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