Se todos os valores de um conjunto de dados aumentam em 10 unidades, o que acontece com a variância?

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto de dados x_1,x_2,\dots,x_n e que criamos um novo conjunto somando 10 a cada valor, ou seja, y_i = x_i + 10. A pergunta é: o que acontece com a variância ao somar uma constante a todos os dados? Vamos usar a definição de variância e a ideia de deslocamento de dados.

Passo 2

A variância de \{x_i\} é definida por
\sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(x_i - \bar x\bigr)^2,
onde \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Para o novo conjunto \{y_i\}, a média é
\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i + 10) = \bar x + 10.

Passo 3

Agora olhamos para as diferenças ao quadrado:
y_i - \bar y = (x_i + 10) - (\bar x + 10) = x_i - \bar x.
Logo, ao calcular a variância de \{y_i\},
\sigma_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 = \sigma_x^2.

Resposta

A variância permanece exatamente a mesma; somar uma constante a todos os valores não altera a variância.

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