Um distribuidor de sementes diz que 95 % de suas sementes germinam (p=0.95). Uma cooperativa que fornece mudas e sementes aos agricultores, antes de comprar um lote de sementes do distribuidor, faz o seguinte teste: toma uma amostra de n sementes e as semeia. Se a proporção de germinação for menor que 0.93 ele recusa o lote. Esse procedimento se encaixa na metodologia de testes de hipóteses, no qual existe a probabilidade da cooperativa recusar um lote bom equivocadamente, assim como, comprar um lote ruim, por engano.
a. Considerando H0: p=0.95 versus HA: p<0.95 e a regra estipulada pela cooperativa, qual deve ser o valor de n para que alpha seja igual a 0.05 ?

Passo 1

Então, a gente tem um distribuidor de sementes que afirma que 95% das sementes germinam. A cooperativa quer testar essas sementes antes de comprar: eles plantam uma amostra de n sementes e, se menos de 93% germinarem, eles recusam o lote. Queremos descobrir qual deve ser o tamanho dessa amostra n para que a probabilidade de rejeitar um lote bom (quando realmente 95% germinam) seja de apenas 5% ( alpha = 0.05). Vamos usar o teste de hipóteses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): A proporção de germinação é 0.95 ( p = 0.95).
  • Hipótese alternativa ( HA): A proporção de germinação é menor que 0.95 ( p < 0.95).
Queremos encontrar o tamanho da amostra n tal que a probabilidade de observar uma proporção menor que 0.93 quando H0 é verdadeira seja 0.05.

Passo 3

Vamos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da proporção amostral. A proporção amostral ( p) tem média p e desvio padrão raizp(1-p)n. Nesse caso, p = 0.95.
A gente quer encontrar n tal que:
P(p < 0.93) = 0.05

Passo 4

Vamos padronizar usando a fórmula do z-score:
z = p - praizp(1-p)n
Substituindo os valores:
z = 0.93 - 0.95raiz0.95 times 0.05n
Queremos que esse z seja igual ao valor crítico para alpha = 0.05, que é aproximadamente -1.645.

Passo 5

Igualando e resolvendo para n:
-1.645 = -0.02raiz0.0475n
Multiplicando ambos os lados por raiz0.0475n:
-1.645 times raiz0.0475n = -0.02
Dividindo ambos os lados por -1.645:
raiz0.0475n = 0.021.645 approx 0.012158

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0.0475n = (0.012158)^2 approx 0.0001478
Resolvendo para n:
n = 0.04750.0001478 approx 321.4

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é aproximadamente n = 322 sementes.

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