Um distribuidor de sementes diz que
de suas sementes germinam
. Uma cooperativa que fornece mudas e sementes aos agricultores, antes de comprar um lote de sementes do distribuidor, faz o seguinte teste: toma uma amostra de
sementes e as semeia. Se a proporção de germinação for menor que 0.93 ele recusa o lote. Esse procedimento se encaixa na metodologia de testes de hipóteses, no qual existe a probabilidade da cooperativa recusar um lote bom equivocadamente, assim como, comprar um lote ruim, por engano.
a. Considerando
versus
e a regra estipulada pela cooperativa, qual deve ser o valor de
para que
seja igual a 0.05 ?
a. Considerando
Passo 1
Então, a gente tem um distribuidor de sementes que afirma que 95% das sementes germinam. A cooperativa quer testar essas sementes antes de comprar: eles plantam uma amostra de
sementes e, se menos de 93% germinarem, eles recusam o lote. Queremos descobrir qual deve ser o tamanho dessa amostra
para que a probabilidade de rejeitar um lote bom (quando realmente 95% germinam) seja de apenas 5% (
). Vamos usar o teste de hipóteses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as hipóteses:
- Hipótese nula (
): A proporção de germinação é 0.95 ( ). - Hipótese alternativa (
): A proporção de germinação é menor que 0.95 ( ).
Queremos encontrar o tamanho da amostra
tal que a probabilidade de observar uma proporção menor que 0.93 quando
é verdadeira seja 0.05.
Passo 3
Vamos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da proporção amostral. A proporção amostral (
) tem média
e desvio padrão
. Nesse caso,
.
A gente quer encontrar
tal que:
Passo 4
Vamos padronizar usando a fórmula do z-score:
Substituindo os valores:
Queremos que esse z seja igual ao valor crítico para
, que é aproximadamente
.
Passo 5
Igualando e resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo para
:
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é aproximadamente
sementes.