Ditermine se as integrais impróprias sào covergentes ou divergentes
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informação dada:
- O intervalo de integração é
. - O integrando é
. - Há uma singularidade no integrando quando
, porque nesse ponto (o integrando tende para infinito ao se aproximar de pela direita).
O que é pedido:
- Verificar se a integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge.
- Se converge, calcular o valor.
Passo 2
Entendendo o que é uma integral imprópria e como tratá‑la.
- Uma integral é imprópria quando o integrando tem singularidade em um dos limites (ou dentro do intervalo) ou quando um dos limites é infinito.
- Nesse caso a singularidade é no limite inferior
. O procedimento padrão é substituir o limite problemático por um parâmetro e tomar um limite. - Escrever a integral como limite: para
,
Isso transforma o problema em avaliar essa integral definida em
e depois fazer
.
Passo 3
Calcular a primitiva (antiderivada) de
.
- Uma maneira simples é fazer a substituição
. Então e quando temos ; quando temos . - A integral em
transforma‑se em integral em :
- Saber integrar
: para com , uma primitiva é . Aqui , então
- Voltando à variável
, a primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral definida
usando a primitiva encontrada.
- Aplicando a fórmula de Barrow:
- Simplificando:
Passo 5
Tomar o limite quando
.
- Quando
temos . - Portanto
- O limite existe e é finito, logo a integral imprópria converge e seu valor é
.
Passo 6
Comentário didático (teste-padrão para singuralidades tipo
).
- Padrão útil: perto de
a variável é pequena, e o integrando é aproximadamente com . - A integral
converge se, e somente se, . Aqui , então esperávamos convergência — isso confirma o resultado calculado. - Dica para prova: ao ver
com singularidade em , use o teste do -integral ou calcule a primitiva e verifique o limite.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.