Ditermine se as integrais impróprias sào covergentes ou divergentes
\int_{2}^{5} \frac{d x}{\sqrt{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{2}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x-2}}
é convergente ou divergente. Informação dada:
  • O intervalo de integração é \,[2,5].
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}=\,(x-2)^{-1/2}.
  • Há uma singularidade no integrando quando x=2, porque \sqrt{x-2}=0 nesse ponto (o integrando tende para infinito ao se aproximar de 2 pela direita).
O que é pedido:
  • Verificar se a integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge.
  • Se converge, calcular o valor.

Passo 2

Entendendo o que é uma integral imprópria e como tratá‑la.
  • Uma integral é imprópria quando o integrando tem singularidade em um dos limites (ou dentro do intervalo) ou quando um dos limites é infinito.
  • Nesse caso a singularidade é no limite inferior x=2. O procedimento padrão é substituir o limite problemático por um parâmetro e tomar um limite.
  • Escrever a integral como limite: para a>2,
\int_{2}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x-2}}=\lim_{a\to 2^{+}}\int_{a}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x-2}}.
Isso transforma o problema em avaliar essa integral definida em [a,5] e depois fazer a\to2^+.

Passo 3

Calcular a primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}=(x-2)^{-1/2}.
  • Uma maneira simples é fazer a substituição u=x-2. Então du=dx e quando x=a temos u=a-2; quando x=5 temos u=5-2=3.
  • A integral em x transforma‑se em integral em u:
\int_{a}^{5} (x-2)^{-1/2}\,dx = \int_{a-2}^{3} u^{-1/2}\,du.
  • Saber integrar u^{-1/2}: para u^{\alpha} com \alpha\neq -1, uma primitiva é \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}. Aqui \alpha=-\tfrac12, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2}=2\,u^{1/2}+C.
  • Voltando à variável x, a primitiva é
\int (x-2)^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x-2}+C.

Passo 4

Avaliar a integral definida \int_{a}^{5} (x-2)^{-1/2}\,dx usando a primitiva encontrada.
  • Aplicando a fórmula de Barrow:
\int_{a}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x-2}} = \left[2\sqrt{x-2}\right]_{x=a}^{x=5} = 2\sqrt{5-2}-2\sqrt{a-2}.
  • Simplificando:
2\sqrt{5-2}-2\sqrt{a-2}=2\sqrt{3}-2\sqrt{a-2}.

Passo 5

Tomar o limite quando a\to 2^{+}.
  • Quando a\to 2^{+} temos \sqrt{a-2}\to 0.
  • Portanto
\lim_{a\to2^{+}}\bigl(2\sqrt{3}-2\sqrt{a-2}\bigr)=2\sqrt{3}-2\cdot 0 = 2\sqrt{3}.
  • O limite existe e é finito, logo a integral imprópria converge e seu valor é 2\sqrt{3}.

Passo 6

Comentário didático (teste-padrão para singuralidades tipo x^{-p}).
  • Padrão útil: perto de x=2 a variável t=x-2 é pequena, e o integrando é aproximadamente t^{-p} com p=\tfrac12.
  • A integral \int_{0}^{\epsilon} t^{-p}\,dt converge se, e somente se, p<1. Aqui p=\tfrac12<1, então esperávamos convergência — isso confirma o resultado calculado.
  • Dica para prova: ao ver \int_{a}^{b}(x-c)^{-p}dx com singularidade em c, use o teste do p-integral ou calcule a primitiva e verifique o limite.

Resposta

A integral converge e seu valor é 2\sqrt{3}.

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