5j Considere o grupo simétrico \left(S_{5}, 0\right) e o subgrupo H gerado por ( 4,5,1,3,2 ). Quantas classes laterais terá S_{5} / H ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O grupo é S_{5} (o grupo de todas as permutações de \{1,2,3,4,5\}).
  • O subgrupo H é o gerado pela permutação \sigma=(4\,5\,1\,3\,2).
    A pergunta é: quantas classes (cosets) laterais à esquerda existem em S_{5}/H? Ou seja, qual é o índice [S_{5}:H], o número de cosets laterais de H em S_{5}.

Passo 2

Identificar a permutação \sigma. A notação (4\,5\,1\,3\,2) significa que \sigma envia 4\mapsto5, 5\mapsto1, 1\mapsto3, 3\mapsto2, 2\mapsto4. Isso é um ciclo de comprimento 5, chamado de 5-ciclo. Uma propriedade importante sobre permutações em notação de ciclos é:
  • A ordem de uma permutação (menor n>0 tal que \sigma^{n}=e) é o mínimo múltiplo comum ( \mathrm{lcm}) dos comprimentos dos ciclos disjuntos na sua decomposição.
    Aqui \sigma é um único ciclo de comprimento 5, portanto a ordem de \sigma é 5.

Passo 3

Entender o subgrupo gerado. O subgrupo H=\langle\sigma\rangle é o conjunto \{e,\sigma,\sigma^{2},\sigma^{3},\sigma^{4}\}. Por definição de gerador e ordem:
  • Como \sigma tem ordem 5, o subgrupo cíclico gerado por \sigma tem exatamente 5 elementos, ou seja |H|=5.

Passo 4

Lembrar e explicar o teorema que vamos usar (Lagrange / índice). Para um grupo finito G e um subgrupo H:
  • As classes laterais à esquerda gH=\{gh: h\in H\} particionam G.
  • Todas as classes laterais têm o mesmo número de elementos, igual a |H|.
  • O número de classes laterais à esquerda (índice) satisfaz
[G:H]=\frac{|G|}{|H|}.
Esse número é um inteiro por Lagrange.

Passo 5

Aplicar ao caso concreto. Primeiro o tamanho de S_{5} é
|S_{5}|=5!=120.
Já temos |H|=5. Pelo resultado do passo anterior,
[S_{5}:H]=\frac{|S_{5}|}{|H|}=\frac{120}{5}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o índice [S_{5}:H] é o número de classes laterais à esquerda de H em S_{5}. Fizemos a conta necessária; agora confira a resposta abaixo. Força aí — tava tudo no ciclo e na conta do fatorial, você conseguiu!

Resposta

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