5j Considere o grupo simétrico
e o subgrupo
gerado por (
). Quantas classes laterais terá
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O grupo é
(o grupo de todas as permutações de ). - O subgrupo
é o gerado pela permutação .
A pergunta é: quantas classes (cosets) laterais à esquerda existem em? Ou seja, qual é o índice , o número de cosets laterais de em .
Passo 2
Identificar a permutação
. A notação
significa que
envia
,
,
,
,
. Isso é um ciclo de comprimento
, chamado de
-ciclo. Uma propriedade importante sobre permutações em notação de ciclos é:
- A ordem de uma permutação (menor
tal que ) é o mínimo múltiplo comum ( ) dos comprimentos dos ciclos disjuntos na sua decomposição.
Aquié um único ciclo de comprimento , portanto a ordem de é .
Passo 3
Entender o subgrupo gerado. O subgrupo
é o conjunto
. Por definição de gerador e ordem:
- Como
tem ordem , o subgrupo cíclico gerado por tem exatamente elementos, ou seja .
Passo 4
Lembrar e explicar o teorema que vamos usar (Lagrange / índice). Para um grupo finito
e um subgrupo
:
- As classes laterais à esquerda
particionam . - Todas as classes laterais têm o mesmo número de elementos, igual a
. - O número de classes laterais à esquerda (índice) satisfaz
Esse número é um inteiro por Lagrange.
Passo 5
Aplicar ao caso concreto. Primeiro o tamanho de
é
Já temos
. Pelo resultado do passo anterior,
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o índice
é o número de classes laterais à esquerda de
em
. Fizemos a conta necessária; agora confira a resposta abaixo. Força aí — tava tudo no ciclo e na conta do fatorial, você conseguiu!