Dividindo-se um número N por 23 obteve-se resto 7 . Qual o maior número inteiro que podemos adicionar a \mathbf{N} de modo a não alterar o quociente?

Passo 1

O enunciado diz que, ao dividir um número N por 23, obteve-se resto 7.
A pergunta é: qual o maior número inteiro que podemos somar a N de modo que o quociente da divisão por 23 não mude?
Informações relevantes dadas:
  • O divisor é 23.
  • O resto da divisão de N por 23 é 7.
  • Queremos o maior inteiro x tal que, ao somar x a N, o quociente da divisão por 23 permaneça o mesmo.

Passo 2

Usando a definição da divisão inteira (algoritmo da divisão): existe um inteiro q (o quociente) tal que
N = 23q + 7,
onde 0 \le 7 \le 22 (a condição geral é que o resto está entre 0 e 23-1). Aqui já sabemos o resto 7.
Explicando com calma: isso significa que N está 7 unidades acima do múltiplo 23q. O próximo múltiplo de 23 é 23(q+1)=23q+23.

Passo 3

Para que o quociente não mude ao somar um inteiro x a N, o novo número N+x tem de ficar ainda no mesmo “intervalo” que produz quociente q, ou seja tem de satisfazer
23q \le N+x \le 23(q+1)-1.
Como N=23q+7, a desigualdade superior é a que impõe limite no quanto podemos somar:
N+x \le 23(q+1)-1 = 23q+22.
Substituindo N=23q+7 nesta desigualdade:
23q+7+x \le 23q+22.
Cancelando 23q dos dois lados e isolando x obtemos
x \le 23q+22-(23q+7).
Fazendo a subtração dos termos dentro:
x \le 15.
Isto significa que qualquer x inteiro com x \le 15 mantém o quociente q; queremos o maior inteiro possível, ou seja x=15.

Passo 4

Um jeito prático para a prova: a diferença entre o maior resto possível ( 22) e o resto atual ( 7) dá diretamente o maior inteiro que se pode somar sem mudar o quociente:
\text{máximo a somar} = 22 - 7 = 15.á
Outro raciocínio equivalente e rápido: a próxima vez que o quociente mudaria é se somarmos 23-7=16 (porque aí N+16 seria múltiplo de 23), então o maior que NÃO muda é 16-1=15.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (escolhendo um q concreto): se q=2 então N=23\cdot2+7=53.
  • Se somarmos 15 temos 53+15=68. Dividindo 68 por 23 dá quociente 2 e resto 22 — o quociente não mudou.
  • Se somarmos 16 temos 53+16=69. Dividindo 69 por 23 dá quociente 3 e resto 0 — o quociente mudou.
    Isso confirma que 15 é o maior inteiro que podemos somar sem alterar o quociente.

Resposta

15

Exercícios relacionados