Dividindo-se um número N por 23 obteve-se resto 7 . Qual o maior número inteiro que podemos adicionar a
de modo a não alterar o quociente?
Passo 1
O enunciado diz que, ao dividir um número
por
, obteve-se resto
.
A pergunta é: qual o maior número inteiro que podemos somar a de modo que o quociente da divisão por
não mude?
A pergunta é: qual o maior número inteiro que podemos somar a
Informações relevantes dadas:
- O divisor é
. - O resto da divisão de
por é . - Queremos o maior inteiro
tal que, ao somar a , o quociente da divisão por permaneça o mesmo.
Passo 2
Usando a definição da divisão inteira (algoritmo da divisão): existe um inteiro
(o quociente) tal que
onde
(a condição geral é que o resto está entre
e
). Aqui já sabemos o resto
.
Explicando com calma: isso significa que
está
unidades acima do múltiplo
. O próximo múltiplo de
é
.
Passo 3
Para que o quociente não mude ao somar um inteiro
a
, o novo número
tem de ficar ainda no mesmo “intervalo” que produz quociente
, ou seja tem de satisfazer
Como
, a desigualdade superior é a que impõe limite no quanto podemos somar:
Substituindo
nesta desigualdade:
Cancelando
dos dois lados e isolando
obtemos
Fazendo a subtração dos termos dentro:
Isto significa que qualquer
inteiro com
mantém o quociente
; queremos o maior inteiro possível, ou seja
.
Passo 4
Um jeito prático para a prova: a diferença entre o maior resto possível (
) e o resto atual (
) dá diretamente o maior inteiro que se pode somar sem mudar o quociente:
Outro raciocínio equivalente e rápido: a próxima vez que o quociente mudaria é se somarmos
(porque aí
seria múltiplo de
), então o maior que NÃO muda é
.
Passo 5
Exemplo numérico para fixar (escolhendo um
concreto): se
então
.
- Se somarmos
temos . Dividindo por dá quociente e resto — o quociente não mudou. - Se somarmos
temos . Dividindo por dá quociente e resto — o quociente mudou.
Isso confirma queé o maior inteiro que podemos somar sem alterar o quociente.