Dividindo-se um número N por um número y obteve-se quociente 30 e resto 8 . Se multiplicarmos \mathbf{N} e y por 6 , quais serão os novos quociente e resto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir.
  • Dados: ao dividir um número N por um número y obteve-se quociente 30 e resto 8.
  • Pergunta: se multiplicarmos N e y por 6, quais serão o novo quociente e o novo resto ao dividir o novo dividendo pelo novo divisor?
  • Informação relevante extraída do enunciado: o resto 8 é menor que o divisor y, portanto y>8 (isto é, y\ge 9 se y for inteiro).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula essencial (a “identidade da divisão inteira”) que sempre usamos quando dividimos inteiros: se ao dividir um inteiro A por um inteiro positivo B obtemos quociente q e resto r, então vale
A = qB + r,
com 0 \le r < B.
Expliquei isso porque é a base para manipular a divisão algebraicamente: A é o dividendo, B o divisor, q o quociente e r o resto. Essa fórmula resume exatamente o sentido de “divisão com resto”.

Passo 3

Aplicando a identidade da divisão ao caso dado (onde A=N, B=y, q=30 e r=8), obtemos a relação
N = 30y + 8.
Aqui cada termo está bem claro: 30y é a parte inteira do produto do divisor pelo quociente e 8 é o resto que sobra.

Passo 4

Agora multiplicamos tanto o dividendo N quanto o divisor y por 6. O novo dividendo é 6N e o novo divisor é 6y. Multiplicando a expressão do Passo 3 por 6 temos
6N = 6(30y + 8) = 180y + 48.
Mostrei a distribuição 6\cdot(30y)+6\cdot 8 passo a passo para ficar claro como apareceu 180y e 48.

Passo 5

Reescrevendo 180y em função de 6y obtemos
180y = 30\cdot(6y),
portanto
6N = 30\cdot(6y) + 48.
Isto significa que, ao dividir 6N por 6y, a decomposição já aparece como “quociente 30” mais “resto 48”, desde que 48 seja menor que o divisor 6y.

Passo 6

Vamos verificar a condição necessária para que o número 48 seja um resto válido: precisamos de 48 < 6y. Como no Passo 1 vimos que y>8 (porque o resto original 8 satisfaz 8<y), então y\ge 9 se y for inteiro. Assim
6y \ge 6\cdot 9 = 54 > 48,
logo 48 < 6y é garantido. Portanto 48 é um resto admissível quando dividimos por 6y.

Passo 7

Concluímos que, ao multiplicar N e y por 6, a divisão de 6N por 6y tem quociente 30 e resto 48.
Exemplo numérico para firmar a intuição (ilustrativo): se escolhermos y=9 então N=30\cdot 9+8=278. Multiplicando por 6 obtemos 6N=1668 e 6y=54. Dividindo 1668 por 54 temos 54\cdot 30 =1620 e resto 1668-1620=48, exatamente o que encontramos.

Resposta

Quociente: 30
Resto: 48

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