Dividindo-se um número N por um número y obteve-se quociente 30 e resto 8 . Se multiplicarmos
e y por 6 , quais serão os novos quociente e resto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir.
- Dados: ao dividir um número
por um número obteve-se quociente e resto . - Pergunta: se multiplicarmos
e por , quais serão o novo quociente e o novo resto ao dividir o novo dividendo pelo novo divisor? - Informação relevante extraída do enunciado: o resto
é menor que o divisor , portanto (isto é, se for inteiro).
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula essencial (a “identidade da divisão inteira”) que sempre usamos quando dividimos inteiros: se ao dividir um inteiro
por um inteiro positivo
obtemos quociente
e resto
, então vale
com
.
Expliquei isso porque é a base para manipular a divisão algebraicamente:
é o dividendo,
o divisor,
o quociente e
o resto. Essa fórmula resume exatamente o sentido de “divisão com resto”.
Passo 3
Aplicando a identidade da divisão ao caso dado (onde
,
,
e
), obtemos a relação
Aqui cada termo está bem claro:
é a parte inteira do produto do divisor pelo quociente e
é o resto que sobra.
Passo 4
Agora multiplicamos tanto o dividendo
quanto o divisor
por
. O novo dividendo é
e o novo divisor é
. Multiplicando a expressão do Passo 3 por
temos
Mostrei a distribuição
passo a passo para ficar claro como apareceu
e
.
Passo 5
Reescrevendo
em função de
obtemos
portanto
Isto significa que, ao dividir
por
, a decomposição já aparece como “quociente
” mais “resto
”, desde que
seja menor que o divisor
.
Passo 6
Vamos verificar a condição necessária para que o número
seja um resto válido: precisamos de
. Como no Passo 1 vimos que
(porque o resto original
satisfaz
), então
se
for inteiro. Assim
logo
é garantido. Portanto
é um resto admissível quando dividimos por
.
Passo 7
Concluímos que, ao multiplicar
e
por
, a divisão de
por
tem quociente
e resto
.
Exemplo numérico para firmar a intuição (ilustrativo): se escolhermos
então
. Multiplicando por
obtemos
e
. Dividindo
por
temos
e resto
, exatamente o que encontramos.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: