1. Para dividir potências de mesma base podemos primeiro transformar a divisão numa multiplicação; para tal, devemos transferir a potência do denominador para o numerador.

Passo 1

O enunciado afirma uma regra sobre dividir potências de mesma base: transformar a divisão em multiplicação “transferindo” a potência do denominador para o numerador. Vou deixar claro o que o problema nos dá e o que ele pede.
  • Dado um quociente de potências com a mesma base, por exemplo \dfrac{a^{m}}{a^{n}}.
  • Informação importante: a base \(a) não pode ser zero quando aparece no denominador (ou seja, se houver divisão por algo que valha zero, a expressão fica indefinida).
  • O objetivo: justificar passo a passo por que se pode transformar a divisão em multiplicação (movendo a potência do denominador para o numerador) e obter uma fórmula simples que dá o resultado final.

Passo 2

Primeiro, lembrar o significado de potência para expoentes inteiros não-negativos (a definição mais básica):
  • Para um inteiro m\ge 1, \displaystyle a^{m}=a\cdot a\cdot a\cdots a (produto de a por ele mesmo m vezes).
  • E por convenção \displaystyle a^{0}=1 se a\neq0.
Isso serve para visualizar o que acontece quando dividimos duas potências com a mesma base.

Passo 3

Caso m\ge n (expoente do numerador maior ou igual ao do denominador): mostro a ideia com cancelamento.
Escrevemos ambos como produtos repetidos:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^{m\\ \text{fatores}}}{\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^{n\\ \text{fatores}}}.
Como numerador e denominador têm fatores iguais \(a), podemos cancelar n desses fatores no numerador com os n do denominador, sobrando no numerador exatamente m-n fatores a. Logo
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Exemplo numérico rápido para visualizar: \displaystyle \frac{2^{5}}{2^{3}}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{2\cdot2\cdot2}=2\cdot2=2^{2}=2^{5-3}.

Passo 4

Caso m<n (expoente do numerador menor que o do denominador): também podemos interpretar por cancelamento, e o resultado será uma potência negativa.
Escrevemos novamente:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\overbrace{a\cdot\ldots\cdot a}^{m}}{\overbrace{a\cdot\ldots\cdot a}^{n}}.
Agora cancelam-se m fatores a, ficando no denominador n-m fatores a, portanto
\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{1}{a^{\,n-m}}.
Usando a definição de expoente negativo (por definição consistente com as regras de potência), definimos
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}\quad\text{para inteiro }k>0.
Assim \dfrac{1}{a^{\,n-m}}=a^{m-n} porque m-n=-(n-m). Portanto, novamente obtemos
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Exemplo numérico: \displaystyle\frac{2^{2}}{2^{5}}=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3}=2^{2-5}.

Passo 5

Uma forma rápida e geral usando a lei do produto de potências: para expoentes inteiros p,q vale
a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Com isso, observe que
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m}\cdot\frac{1}{a^{n}}=a^{m}\cdot a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}.
Aqui usei a definição de a^{-n} como \dfrac{1}{a^{n}} e a lei do produto para somar expoentes. Esse argumento é curto e funciona tanto para m\ge n quanto para m<n.

Passo 6

Casos especiais e precauções importantes (o que lembrar na prova):
  • Se a=0 e n>0, então \dfrac{a^{m}}{a^{n}} é uma divisão por zero e está indefinida. Portanto sempre verificar que a base no denominador não é zero.
  • Se m=n, a fórmula dá a^{m-n}=a^{0}=1 (desde que a\neq0), o que bate com \dfrac{a^{m}}{a^{m}}=1.
  • A regra \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} vale para expoentes inteiros; ela se estende para expoentes racionais e reais (com \,a>0) usando definições de raiz e exponencial, mas para a prova inicial foque em inteiros e na ideia de cancelamento.

Passo 7

Resumo prático (maneira rápida de aplicar na prova):
  • Para transformar uma divisão em multiplicação, mova a potência do denominador para o numerador trocando o sinal do expoente:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m}\cdot a^{-n}.
  • Com isso, basta somar expoentes (ou subtrair): a^{m}\cdot a^{-n}=a^{m-n}.
Exemplo final de aplicação: simplify \dfrac{3^{4}}{3^{7}}.
Passo: mover 3^{7} para cima com expoente negativo: 3^{4}\cdot3^{-7}=3^{4-7}=3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}.

Resposta

\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

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