Dizemos que uma matriz $A$ é ortogonal se $A^{t}=A^{-1}$ . Mostre que se $A$ é ortogonal então $\operatorname{det}(A)= \pm 1$ . Apresente um contra-exemplo para mostrar que a recíproca nāo é verdadeira, isto $\hat{e}$ , se $\operatorname{det}(A)= \pm 1$ nāo é necessariamente verdade que $A$ é ortogonal.

O enunciado define uma matriz

A

como ortogonal se

A^{t} = A^{-1}.

Queremos mostrar que, sob essa hipótese,

\det(A)=\pm1

, e depois dar um exemplo de matriz cujo determinante seja

\pm1

mas que não seja ortogonal.

Como

A

é ortogonal, temos

A^t = A^{-1}

. Aplicando determinante em ambos os lados:

\det(A^t) = \det(A^{-1}).

Sabemos que

\det(A^t)=\det(A)

\det(A^{-1})=1/\det(A)

. Logo,

\det(A) = \frac{1}{\det(A)},

isto é,

\bigl(\det(A)\bigr)^2 = 1,

portanto

\det(A)=\pm1.

Para ver que a recíproca não vale, basta exibir uma matriz com determinante

\pm1

que não satisfaça

A^t=A^{-1}

. Por exemplo,

A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[0.3em]0 & 1\end{pmatrix}.

Calculamos

\det(A)=1

, mas

A^t = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\ 0 & 1\end{pmatrix},

e claramente

A^t\neq A^{-1}

. Assim,

A

não é ortogonal apesar de

\det(A)=1

\det(A)=\pm1

.
Contraexemplo:

A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[0.3em]0 & 1\end{pmatrix},

que tem

\det(A)=1

mas não satisfaz

A^t=A^{-1}

Dizemos que uma matriz A é ortogonal se A^{t}=A^{-1}. Mostre que se A é ortogonal então \operatorname{det}(A)= \pm 1. Apresente um contra-exemplo para mostrar que a recíproca nāo é verdadeira, isto \hat{e}, se \operatorname{det}(A)= \pm 1 nāo é necessariamente verdade que A é ortogonal.