Verifique que $A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ é ortogonal. Calcule $\operatorname{det}(A)$ .

O enunciado dá a matriz

A = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

e pede para verificar que

A

é ortogonal e calcular

\det(A)

. Para mostrar ortogonalidade precisamos usar o fato de que

A

é ortogonal se, e somente se,

A^{T}A = I.

Depois disso, podemos usar a definição usual de determinante em

\mathbb{R}^{3\times3}

para encontrar

\det(A)

Calculemos

A^{T}

. Como basta trocar linhas por colunas,

A^{T} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Agora multiplicamos

A^{T}A

. Observe que o bloco

2\times2

no canto superior esquerdo de

A

é a matriz de rotação em

\mathbb{R}^{2}

, cuja transposta é sua inversa. Logo, ao multiplicar esse bloco por si mesmo transposto obtém-se a identidade

2\times2

. E a terceira linha e coluna triviais dão 1. Concluímos que

A^{T}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Portanto

A

é ortogonal.]

Para calcular

\det(A)

usamos a fórmula do determinante de bloco triangular, ou diretamente o regra de Sarrus. Note que

A

é triangular por blocos com determinante igual ao produto dos determinantes do bloco

2\times2

e do escalar

1

. O bloco

2\times2

\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[4pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix},

cujo determinante é

\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1.

Multiplicando pelo elemento

1

do canto inferior direito, obtemos

\det(A) = 1 \times 1 = 1.

]

A matriz

A

é ortogonal e

\det(A)=1

Verifique que A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] é ortogonal. Calcule \operatorname{det}(A).