Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty 3^cos nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+infty3^cos nn^2
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries de termos positivos e o fato de que a série sum 1/n^2 (p-série com p=2) é convergente.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
-1 <= cos n <= 1
e, portanto,
3^-1 <= 3^cos n <= 3^1,
isto é,
13 <= 3^cos n <= 3

Passo 3

Dessas desigualdades segue
13,1n^2 ;<=; 3^cos nn^2 ;<=; 3,1n^2
Como a série
sumn=1^+infty1n^2
é convergente (p-série com p=2>1), pelas desigualdades acima e pelo teste da comparação (ou teste da cunha), concluímos que
sumn=1^+infty3^cos nn^2
também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados