Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
f(x)=lx^2, se x >= 0 -x^2, se x<0 ,[a, b]=[-2,2]

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2,&x>=0, -,x^2,&x<0,
no intervalo [a,b]=[-2,2] e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos lembrar que para aplicar o TVM precisamos de:
  1. f contínua em [a,b].
  2. f diferenciável em (a,b).

Passo 2

Verificamos a continuidade em todo [-2,2]. Para xneq0 cada ramo x^2 ou -x^2 é polinomial, logo contínuo. Em x=0 temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-x^2)=0, limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^2)=0,
e f(0)=0. Assim f é contínua em todo [-2,2].

Passo 3

Agora a diferenciabilidade em (-2,2). Para x>0 e x<0 cada ramo é polinomial, portanto diferenciável. Em x=0 calculamos as derivadas laterais:
f'-(0)=limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^--h^2-0h=-limhto0^-h=0,
f'+(0)=limhto0^+h^2-0h=limhto0^+h=0
Como f'-(0)=f'+(0), existe f'(0)=0. Logo f é diferenciável em toda (-2,2).

Passo 4

Como f satisfaz as hipóteses do TVM, existe cin(-2,2) tal que
f'(c)=f(2)-f(-2)2-(-2)
Calculamos a “inclinação média”:
f(2)=2^2=4, f(-2)=-(-2)^2=-4,
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f(2)-f(-2)4=4-(-4)4=84=2

Passo 5

Precisamos resolver
Para . Para temos . Ambos estão em , satisfazendo a conclusão do TVM.

Resposta

As hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas, e a conclusão vale: existem pelo menos dois pontos cin(-2,2), especificamente c=1 e c=-1, tais que f'(c)=2.

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