Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty(nan+1)^n, a>1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+inftyl(nan+1r)^n
converge ou diverge para a>1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas de termos positivos. Vamos usar o teste da divergência (termo geral) e o teste da razão.

Passo 2

Analisamos o termo geral
un = l(nan+1r)^n = a^nl(nn+1r)^n
Como
limntoinftyl(nn+1r)^n = e^-1,
segue que
un sim a^n e^-1
Para a>1, a^n e^-1to+infty, logo unnotto0 e a série diverge pelo teste da divergência.

Passo 3

Confirmamos com o teste da razão. Calculamos
un+1un = ((n+1)an+2)^n+1 l/(nan+1)^n
Ao simplificar, obtém-se
limntoinftyun+1un=a
Como a>1, o limite da razão é maior que 1, portanto a série diverge também pelo teste da razão.

Passo 4

Ambos os testes indicam que a série não converge sempre que a>1.

Resposta

A série é divergente para todo a>1.

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