Questão 1. Calcule cada uma das integrais indefinidas usando a escolha para u e dv sugerida.
integral xraiz1+x d x, d v=1raiz1+x d x e u=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xraiz1+x,dx
usando o método de integração por partes com as escolhas
u = x e dv = 1raiz1+x,dx
Lembre que a fórmula de partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Calcule du e v. Como u = x, temos
du = dx
Para v, integramos
v = integral dv = integral (1+x)^-tfrac12,dx
Fazendo a substituição t = 1+x, dt = dx, obtemos
v = integral t^-tfrac12,dt = 2,t^tfrac12 = 2raiz1+x

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de partes:
integral xraiz1+x,dx = u,v - integral v,du = xcdotl(2raiz1+xr) - integral 2raiz1+x,dx

Passo 4

Restou integrar
integral 2raiz1+x,dx = 2integral (1+x)^tfrac12,dx
Novamente com t=1+x, dt=dx, temos
integral (1+x)^tfrac12,dx = integral t^tfrac12,dt = 23t^tfrac32 = 23(1+x)^tfrac32
Logo
2integral (1+x)^tfrac12dx = 2cdot23(1+x)^tfrac32 = 43(1+x)^tfrac32

Passo 5

Substituindo de volta em partes, obtemos
integral xraiz1+x,dx = 2xraiz1+x - 43(1+x)^tfrac32 + C,
onde C é a constante de integração. Podemos deixar assim ou fatorar 2raiz1+x.

Resposta

boxed integral xraiz1+x,dx =2xraiz1+x -43(1+x)^tfrac32 + C

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