Dois blocos de massas m_{1} e m_{2} estão ligados por uma mola sem massa de constante k sobre um plano sem atrito. O comprimento natural da mola é l. Inicialmente, m_{2} é mantido de modo que a mola esteja comprimida até l / 2, e m_{1} está encostado a um batente. Em t=0, solta-se m_{2}. Determine o movimento do centro de massa do sistema em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve dois blocos de massas \,m_{1} e \,m_{2} ligados por uma mola sem massa de constante k e comprimento natural l, apoiados num plano sem atrito. Inicialmente a mola está comprimida em l/2 e o bloco de massa m_{1} está encostado num batente (fixo), enquanto m_{2} é mantido solto nessa posição. Em t=0 soltamos m_{2} e queremos a posição do centro de massa do sistema (m_{1}+m_{2}) em função do tempo.
Conteúdo: movimento harmônico simples (MHS) e definição de centro de massa.

Passo 2

Como m_{1} fica preso ao batente, sua coordenada horizontal é
x_{1}(t)=0.
O bloco m_{2} sofre apenas a força elástica da mola, de intensidade
F_{s}=-\,k\bigl(x_{2}-x_{1}-l\bigr)=-\,k\bigl(x_{2}-l\bigr).
A equação de Newton para m_{2} é
m_{2}\,x_{2}''=-\,k\bigl(x_{2}-l\bigr),
isto é, um MHS com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m_{2}}}
e centro de oscilação em x=l. As condições iniciais são x_{2}(0)=l/2 e x_{2}'(0)=0. Daí
x_{2}(t)=l-\frac{l}{2}\,\cos\bigl(\omega t\bigr).

Passo 3

A posição do centro de massa X_{\rm cm} do sistema m_{1}+m_{2} é
X_{\rm cm}(t) =\frac{m_{1}\,x_{1}(t)+m_{2}\,x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}} =\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\;x_{2}(t).
Substituindo x_{2}(t) resulta
X_{\rm cm}(t) =\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigl[l-\tfrac{l}{2}\cos(\omega t)\Bigr].

Resposta

X_{\rm cm}(t) =\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigl[l-\tfrac{l}{2}\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m_{2}}}\,t\bigr)\Bigr].

Exercícios relacionados